6. Les nombres rationnels

  I/ Notion de nombre rationnel

\frac{20}{3}= 20 : 3 = 6,666 est un nombre rationnel.

Définition 

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous forme de fraction.

L’ensemble des nombres rationnels se note Q

  • Q+   est l’ensemble des nombres rationnels positifs
  • Q  est l’ensemble des nombres rationnels négatifs.
  • Q \cap Q+ = {0}
  • Q \cup Q+ = Q

 Remarque 

  • Un nombre rationnel peut être représenté par plusieurs fractions :

 Exemple : \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{13} ……..

  • Tout entier naturel, est un  rationnel, tout entier relatif est un rationnel et tout décimal est un rationnel donc N C Z C D C Q

 II/ Ordre et Opération

  1. Rappel

Pour tous nombres rationnels a et b

  • a ≥ b signifie que a – b \in Q+
  • a \leq b signifie que a – b \in Q

2) Ordre et addition

a) Activité

Considérons les deux nombres a et b avec a= 5 ,5 et b= 7,5.
Calculer  a + 3 ,5 et  b + 3,5 et compare a et b  puis  a+ 3,5 et b +3 ,5

 Réponse

  • a + 3 ,5 = 5,5+3,5=9
  • b +3,5 = 7,5+3,5=11
  • a≤b  et  a + 3 ,5≤ b + 3,5

b) Règle 1

Pour tous nombres rationnels a,b et c : Si a ≤ b alors a+ b ≤ b + c

Remarque : Si a ≤ b alors a – c ≤  b – c car soustraire un nombre c’est ajouter son opposé.

3) Ordre et multiplication

          a) Activité

Considérons les nombres a = 5,5 et b= 7,5. Calculer 2a et 2b ; -3a et -3b   .
 Comparer a et b ;2a et 2b et -3a et -3b
2a = 2 x 5,5                                 2b = 2x 7,5
2a = 11                                      2b = 15

  • a ≤ b et 2a ≤ 2b

-3a = -3×5,5                               -3b = -3x 7,5
-3a = -16,5                                 -3b = -22,5

  • a≤ b et -3a ≥ -3b

a) Règle 2

Pour tous nombres rationnels a, b et c

Si a≤ b et si c ≥ 0 alors ac ≤ bc
Si a ≤ b et  si c ≤ 0 alors ac ≥ bc

On dit que la multiplication par un nombre positif conserve l’ordre tandis que la multiplication par un nombre négatif inverse l’ordre.

      Remarque 

Si a ≤ b alors  -a ≥ -b car –a = (-1)xa ; –b = (-1)xb  et  (-1)≤0

  III/ Puissance dans

  1. Définition

Activité

Calculer 2-1 , 2-2 , 2-3
2-1 = \frac{1}{2} ; 2-2 = \frac{1}{2^2} ; 2-3 = \frac{1}{2^3}

    Retenons

Pour tout nombre rationnel ‘a’ non nul et pour tout entier naturel n non nul, a-n = \frac{1}{a^n}

2) Propriété

 Règle 1

Pour tout nombre rationnel « a » non nul et pour tous entiers relatifs m et n on a 

                     Exercice d’application

   Calculer

A = 52 x 57 ; C= [(15)-2]-3   E= (3  x 7) -2  B =

  IV/ Approximation décimale d’un nombre rationnel

 Exemple 1 : soit a = 5, 14314 on a :

  • 5<a<6 ou 5.100<a<6.100
  • 5,1<a<5,2 ou 51.10-1 <a<52.10-1 .
  • 5,14<a<5,15 ou 514.10-2 <a<515.10-2
  • 5,143<a<5,144 ou 5143.10-3 <a<5144.10-3

5 ,1 ou 51.10-1 est l’approximation décimale  au \frac{1}{10} par défaut de a
5,2 ou 52.10-1 est L’approximation décimale  au  \frac{1}{10} par excès de a
5 ,143 ou 5143. 10-3 est l’approximation décimale au \frac{1}{1000} par défaut de a

 Exemple 2 : soit b=7,34000

  • 7,3 < b < 7,4
  • 7,34 ≤ b < 7,35
  • 7,340 ≤ b < 7,341

7,340 est aussi l’approximation décimale  au \frac{1}{1000} par défaut de b.

Exemple 3 : 7,563 est l’approximation décimale  au \frac{1}{1000} par défaut de x.
On a : 7,563 < x < 7,564. On dit qu’on a encadre x.

  • Cas général

Tout nombre rationnel x peut être encadré de la façon suivante :

a.10-p <x< (a+1).10-p
a.10-p est l’approximation décimale  au \frac{1}{10^p}(ou d’ordre p) par défaut de x.
(a+1).10-p est l’approximation décimale  au \frac{1}{10^p} par excès de x.

  V/ Suites décimales

  • Activité

Calculer en posant la division ; les nombre rationnels \frac{13}{6} , \frac{27}{11} , \frac{12}{7} , \frac{17}{8}

    Dans chaque cas on obtient une suite de nombres qui se répète.

2,45 est appeler une suite décimale illimitée périodique ( SDIP) de période 45 (ou  54) 0n le note 2,45…

  • Propriété

Tout nombre rationnel peut s’écrire sous forme d’une SDIP.

  • Activité

Soit les SDIP suivantes: b = 1,24   ; c = 2,237
Ecrire sous forme de fraction les SDIP  b et c.

 Réponse

  • Propriété

Toute SDIP peut s’écrire sous forme de fraction.

Conclusion : Tout nombre rationnel peut s’ écrire sous forme de SDIP et toute SDIP est un nombre décimal .