6. Les nombres rationnels
I/ Notion de nombre rationnel
\frac{20}{3}= 20 : 3 = 6,666 est un nombre rationnel.
Définition
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous forme de fraction.
L’ensemble des nombres rationnels se note Q
- Q+ est l’ensemble des nombres rationnels positifs
- Q– est l’ensemble des nombres rationnels négatifs.
- Q– \cap Q+ = {0}
- Q– \cup Q+ = Q
Remarque
- Un nombre rationnel peut être représenté par plusieurs fractions :
Exemple : \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{13} ……..
- Tout entier naturel, est un rationnel, tout entier relatif est un rationnel et tout décimal est un rationnel donc N C Z C D C Q
II/ Ordre et Opération
- Rappel
Pour tous nombres rationnels a et b
- a ≥ b signifie que a – b \in Q+
- a \leq b signifie que a – b \in Q–
2) Ordre et addition
a) Activité
Considérons les deux nombres a et b avec a= 5 ,5 et b= 7,5.
Calculer a + 3 ,5 et b + 3,5 et compare a et b puis a+ 3,5 et b +3 ,5
Réponse
- a + 3 ,5 = 5,5+3,5=9
- b +3,5 = 7,5+3,5=11
- a≤b et a + 3 ,5≤ b + 3,5
b) Règle 1
Pour tous nombres rationnels a,b et c : Si a ≤ b alors a+ b ≤ b + c
Remarque : Si a ≤ b alors a – c ≤ b – c car soustraire un nombre c’est ajouter son opposé.
3) Ordre et multiplication
a) Activité
Considérons les nombres a = 5,5 et b= 7,5. Calculer 2a et 2b ; -3a et -3b .
Comparer a et b ;2a et 2b et -3a et -3b
2a = 2 x 5,5 2b = 2x 7,5
2a = 11 2b = 15
- a ≤ b et 2a ≤ 2b
-3a = -3×5,5 -3b = -3x 7,5
-3a = -16,5 -3b = -22,5
- a≤ b et -3a ≥ -3b
a) Règle 2
Pour tous nombres rationnels a, b et c
Si a≤ b et si c ≥ 0 alors ac ≤ bc
Si a ≤ b et si c ≤ 0 alors ac ≥ bc
On dit que la multiplication par un nombre positif conserve l’ordre tandis que la multiplication par un nombre négatif inverse l’ordre.
Remarque
Si a ≤ b alors -a ≥ -b car –a = (-1)xa ; –b = (-1)xb et (-1)≤0
III/ Puissance dans
- Définition
Activité
Calculer 2-1 , 2-2 , 2-3
2-1 = \frac{1}{2} ; 2-2 = \frac{1}{2^2} ; 2-3 = \frac{1}{2^3}
Retenons
Pour tout nombre rationnel ‘a’ non nul et pour tout entier naturel n non nul, a-n = \frac{1}{a^n}
2) Propriété
Règle 1
Pour tout nombre rationnel « a » non nul et pour tous entiers relatifs m et n on a

Exercice d’application
Calculer
A = 52 x 57 ; C= [(15)-2]-3 E= (3 x 7) -2 B =
IV/ Approximation décimale d’un nombre rationnel
Exemple 1 : soit a = 5, 14314 on a :
- 5<a<6 ou 5.100<a<6.100
- 5,1<a<5,2 ou 51.10-1 <a<52.10-1 .
- 5,14<a<5,15 ou 514.10-2 <a<515.10-2
- 5,143<a<5,144 ou 5143.10-3 <a<5144.10-3
5 ,1 ou 51.10-1 est l’approximation décimale au \frac{1}{10} par défaut de a
5,2 ou 52.10-1 est L’approximation décimale au \frac{1}{10} par excès de a
5 ,143 ou 5143. 10-3 est l’approximation décimale au \frac{1}{1000} par défaut de a
Exemple 2 : soit b=7,34000
- 7,3 < b < 7,4
- 7,34 ≤ b < 7,35
- 7,340 ≤ b < 7,341
7,340 est aussi l’approximation décimale au \frac{1}{1000} par défaut de b.
Exemple 3 : 7,563 est l’approximation décimale au \frac{1}{1000} par défaut de x.
On a : 7,563 < x < 7,564. On dit qu’on a encadre x.
- Cas général
Tout nombre rationnel x peut être encadré de la façon suivante :
a.10-p <x< (a+1).10-p
a.10-p est l’approximation décimale au \frac{1}{10^p}(ou d’ordre p) par défaut de x.
(a+1).10-p est l’approximation décimale au \frac{1}{10^p} par excès de x.
V/ Suites décimales
- Activité
Calculer en posant la division ; les nombre rationnels \frac{13}{6} , \frac{27}{11} , \frac{12}{7} , \frac{17}{8}

Dans chaque cas on obtient une suite de nombres qui se répète.

2,45 est appeler une suite décimale illimitée périodique ( SDIP) de période 45 (ou 54) 0n le note 2,45…
- Propriété
Tout nombre rationnel peut s’écrire sous forme d’une SDIP.
- Activité
Soit les SDIP suivantes: b = 1,24 ; c = 2,237
Ecrire sous forme de fraction les SDIP b et c.
Réponse

- Propriété
Toute SDIP peut s’écrire sous forme de fraction.
Conclusion : Tout nombre rationnel peut s’ écrire sous forme de SDIP et toute SDIP est un nombre décimal .