8. Les vecteurs(1) et (2)
A) Les vecteurs (1)
I)Parallélogramme
1)Cas général

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et égaux
- Propriété
- Si ABCD est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu
- Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme
2) Cas particulier

A’B’C’D’ est un parallélogramme aplati
Si A ;B ;C et D sont alignés et si les segments [AC] et [BD] ont le même milieu , alors ABCD est un parallélogramme aplati
II)Bipoints Equipollents –vecteurs
- Bipoints équipollents
a) Activité
Tracer un segment [AB] et un segment [B’A’] tel que ABB’A’ soit un parallélogramme

Pour que ABB’A’ soit un parallélogramme il faut que les segments [AB] et [B’A’] soient parallèles et de même longueur
b) Définition
Les bipoints ( couple de points ) (A ;B) ; (B’ ;A’) sont équipollents signifie que ABB’A’ est un parallélogramme . A est l’origine du bipoint (A ;B) et B est son extrémité .
Remarque Le bipoint (A ;B) est équipollent à lui-même car ABBA est un parallélogramme aplati
2)Définition et Notation d’un vecteur
a)Activité
Construire un bipoint (A ;B) et 4 bipoints équipollents distincts (A1 ;B1) ; (A2 ;B2) ; (A3 ;B3) ; (A4 ;B4)

Deux bipoints équipollents quelconques de la figure forment un parallélogramme
b)Définition
L’ensemble des bipoints équipollents au bipoint (A ;B) s’appelle un VECTEUR , chaque bipoint est un représentant du vecteur.
Un vecteur se note par une lettre surmontée d’une flèche, par exemple \overrightarrow{u} qui se lit « vecteur u »
3) Représentation d’un vecteur
Pour représenter le vecteur \overrightarrow{u} on choisit un des représentants. Le bipoint (A ;B) par exemple et on trace le segment fléché reliant A à B ; on le note \overrightarrow{AB} et on lit « vecteur AB »

A est l’origine du vecteur \overrightarrow{AB} et et B est l’extrémité
3)Vecteur nul
L’ensemble des bipoints équipollents a (A ;A) est appélé le vecteur nul et se note \overrightarrow{0} ou \overrightarrow{AA}
On dire alors que : \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{CC} = \overrightarrow{0}
III)Egalité de deux vecteurs
Représenter deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{A'B'} tels que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}

(A ;B) et (A’ ; B’) sont des représentants d’un même vecteur alors ils sont équipollents donc ABA’B’ est un parallélogramme.
- Propriété
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} signifie que le quadrilatère ABA’B’ est un parallélogramme.
B)Les vecteurs (2)
I )Sommes de deux vecteurs
1 )Définition
a ) Activité
Soit deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ;placer deux bipoints (A ; B), et (B ;C ) représentants respectifs des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}
figure

\overrightarrow{AC} est un représentant du vecteur ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) .On remarque que l’origine B du bipoint ( B ;C ) est l’extrémité du bipoint (A ; B ).
b ) Définition
Le bipoint (A ; C ) est un représentant d’un vecteur appelé « vecteur somme » de \overrightarrow{u} et de \overrightarrow{v} noté \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} . \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{v} = \overrightarrow{BC} ; et \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} .
On a alors : \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} ; cette relation est appelée la relation de Chasles
2 ) Autre construction de la somme de deux vecteurs
a ) Activité
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs. Choisir les représentants de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} de même origine A.
Soit le point B tel que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} et le point F tel que \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{v}
Construire le point E tel que ABEF soit un parallélogramme.
Figure

On a : \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{AF}
- \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}
- = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}
- = \overrightarrow{AE}
b) Règle
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} , [AE] étant la diagonale issue de A du parallélogramme ABEF
Exercice application
Soit A ;E et F trois points du plan .Construire dans chaque cas un représentant du vecteur somme :
1 ) \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF}
2 ) \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EF}
3) Propriété de l’addition vectorielle
a) Commutativité
Activité
Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} des vecteurs quelconques. Construire un représentant de \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} .

On a : \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} donc \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}
- Propriété
Pour tous vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{u} on a \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} On dit que l’addition vectorielle est commutative
b) Associativité
\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont trois vecteurs de représentants respectifs(A ;B) ;(B ;C) ; (C ;D)
En utilisant la relation de Chasles calculer ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) + \overrightarrow{w} et \overrightarrow{u} + ( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} )

On a : ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) + \overrightarrow{w} =( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} ) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}
\overrightarrow{u} + ( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} ) = \overrightarrow{AB} + ( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} ) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}
Alors ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} )+ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + ( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} ) ; on dit que l’addition vectorielle est associative.
C)Vecteur nul
Activité
Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan de représentant (A ;B) et \overrightarrow{0} un vecteur nul de représentant (B ; B). Représenter \overrightarrow{u} + \overrightarrow{0}

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AB} alors \overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u} ; on dit que \overrightarrow{BB} est un vecteur neutre pour l’addition
Propriété
Pour tout vecteur \overrightarrow{u} on a : \overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}
d) Vecteur opposés
Activité
Calculer : \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FE} ; \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NM}
On a :
- \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}
- \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{EE} = \overrightarrow{0}
- \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0}
On dit que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BA} sont opposés car leur somme est égale à \overrightarrow{0} de même que \overrightarrow{EF} et \overrightarrow{FE} ; \overrightarrow{MN} et \overrightarrow{NM}. on note : \overrightarrow{AB} = –\overrightarrow{BA} ou \overrightarrow{BA} = –\overrightarrow{AB}
Définition
Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont opposés signifie que : \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} ; on note \overrightarrow{u} = –\overrightarrow{v} ou \overrightarrow{v} = –\overrightarrow{u}
II)Multiplication d’un vecteur par un nombre
1)Définition
- Deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} ont même direction signifie que (AB) //(CD)
- Deux vecteurs de même direction sont de sens opposé ou de même sens.

2)Convention d’écriture
Représenter un vecteur \overrightarrow{AB} et les points E ; F et G tel que : \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{FG}

On remarque que :
- \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG}
- \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}
- \overrightarrow{AG} = 4\overrightarrow{AB}
Conclusion :
Soit un vecteur \overrightarrow{u} et k un nombre non nul ; les vecteurs \overrightarrow{u} et k\overrightarrow{u} sont deux vecteurs :
- Qui ont la même direction
- Qui ont le même sens si k est positif
- Qui ont des sens contraires si k est négatif
3 ) Propriété du milieu d’un segment
Activité
Marque le milieu I d’un segment [AB]
- Que peut-on dire de \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{IB}
- Calculer : \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}
- Que peut-on dire de \overrightarrow{AB} et de 2\overrightarrow{AI}
Réponse

- \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}
- \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}
- \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}
- Propriété 1
Si I est milieu d’un segment [AB] alors :
\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} ; \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} ; \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}
- Propriété 2
Si \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI} alors I est milieu d’un segment [AB]