8. Les vecteurs(1) et (2)

A) Les vecteurs (1)

I)Parallélogramme

1)Cas général

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et égaux

  • Propriété
    • Si ABCD est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu
    • Si les diagonales d’un quadrilatère  se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme

2) Cas particulier

A’B’C’D’ est un parallélogramme aplati

Si A ;B ;C et D sont alignés et si les segments [AC] et [BD] ont le même milieu , alors ABCD est un parallélogramme aplati

 II)Bipoints Equipollents –vecteurs

  1. Bipoints équipollents

a) Activité

Tracer un segment [AB] et un segment [B’A’] tel que ABB’A’ soit un parallélogramme

Pour que ABB’A’ soit un parallélogramme il faut que les segments [AB] et [B’A’] soient parallèles et de même longueur

b) Définition

Les bipoints ( couple de points ) (A ;B) ; (B’ ;A’) sont équipollents signifie que ABB’A’ est un parallélogramme . A est l’origine du bipoint (A ;B) et B est son extrémité .

Remarque Le bipoint (A ;B) est équipollent à lui-même car ABBA est un parallélogramme aplati

  2)Définition et Notation d’un vecteur

a)Activité

Construire un bipoint (A ;B) et 4 bipoints équipollents distincts (A;B1) ; (A;B2) ; (A;B3) ; (A;B4)

Deux bipoints équipollents quelconques de la figure forment un parallélogramme

b)Définition

L’ensemble des bipoints équipollents au bipoint (A ;B)  s’appelle un VECTEUR , chaque bipoint est un représentant du vecteur.

Un vecteur se note par une lettre surmontée d’une flèche, par exemple \overrightarrow{u} qui se lit « vecteur u »

3) Représentation d’un vecteur

Pour représenter le vecteur \overrightarrow{u} on choisit un des représentants. Le bipoint (A ;B) par exemple et on trace le segment fléché reliant A à B ; on le note \overrightarrow{AB} et on lit «  vecteur AB »

A est l’origine du vecteur \overrightarrow{AB} et et B est l’extrémité

3)Vecteur nul

L’ensemble des bipoints équipollents a (A ;A) est appélé le vecteur nul et se note \overrightarrow{0} ou \overrightarrow{AA}

On dire alors que : \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{CC} = \overrightarrow{0}

III)Egalité de deux vecteurs

Représenter deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{A'B'} tels que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}

(A ;B) et (A’ ; B’) sont des représentants d’un même vecteur alors ils sont équipollents   donc ABA’B’ est un parallélogramme.

  • Propriété

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} signifie que le quadrilatère ABA’B’ est un parallélogramme.

B)Les vecteurs (2)

I )Sommes de deux  vecteurs

1 )Définition

a ) Activité

Soit deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}  ;placer deux bipoints (A ; B), et (B ;C ) représentants respectifs des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}

  figure

\overrightarrow{AC} est un représentant du vecteur ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) .On remarque que l’origine B du bipoint ( B ;C ) est l’extrémité du bipoint (A ; B ).

b ) Définition

Le bipoint (A ; C ) est un représentant d’un vecteur appelé  « vecteur somme » de \overrightarrow{u} et de \overrightarrow{v} noté \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} . \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{v} = \overrightarrow{BC} ; et \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} .

On a alors : \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} ; cette relation est appelée la relation de Chasles

2 ) Autre construction de la somme de deux vecteurs

a ) Activité 

\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs. Choisir les représentants de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} de même origine A.

Soit le point B tel que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} et le point F tel que \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{v}

Construire le point E tel que ABEF soit un parallélogramme.

Figure

On a : \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{AF}

  • \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}
  • = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}
  • = \overrightarrow{AE}

b) Règle

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} , [AE] étant la diagonale issue de A du parallélogramme ABEF

 Exercice application

Soit A ;E et F trois points du plan .Construire dans chaque cas un représentant du vecteur somme :

1 ) \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF}

2 ) \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EF}

3) Propriété de l’addition vectorielle

a) Commutativité

Activité

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} des vecteurs quelconques. Construire un représentant de  \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} .

On a : \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} donc \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}

  • Propriété

Pour tous vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{u} on a \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} On dit  que l’addition vectorielle est commutative

b) Associativité

\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont trois vecteurs de représentants respectifs(A ;B) ;(B ;C) ; (C ;D)

En utilisant la relation de Chasles calculer ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) + \overrightarrow{w} et \overrightarrow{u} + ( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} )

On a : ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) + \overrightarrow{w} =( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} ) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}

\overrightarrow{u} + ( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} ) = \overrightarrow{AB} + ( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} ) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}

Alors ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} )+ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + ( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} ) ; on dit que l’addition vectorielle est associative.

C)Vecteur nul

Activité

Soit  \overrightarrow{u} un vecteur du plan de représentant (A ;B) et \overrightarrow{0} un vecteur nul de représentant (B ; B). Représenter \overrightarrow{u} + \overrightarrow{0}

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AB} alors \overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u} ; on dit que \overrightarrow{BB} est un vecteur neutre pour l’addition

Propriété

Pour tout vecteur \overrightarrow{u} on a : \overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}

d) Vecteur opposés

Activité

Calculer :  \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FE} ; \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NM}

On a :

  • \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}
  • \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{EE} = \overrightarrow{0}
  • \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0}

On dit que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BA}  sont opposés car leur somme est égale à \overrightarrow{0} de même que  \overrightarrow{EF} et \overrightarrow{FE} ; \overrightarrow{MN} et \overrightarrow{NM}.  on note : \overrightarrow{AB} = –\overrightarrow{BA} ou \overrightarrow{BA} = –\overrightarrow{AB}

Définition

Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont opposés signifie que : \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} ; on note \overrightarrow{u} = –\overrightarrow{v} ou \overrightarrow{v} = –\overrightarrow{u}

II)Multiplication d’un vecteur par un nombre

1)Définition

  • Deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} ont  même direction signifie que (AB) //(CD)
  • Deux vecteurs  de même direction sont de sens opposé ou de même sens.

2)Convention d’écriture

Représenter  un vecteur \overrightarrow{AB} et les points E ; F et G tel que : \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{FG}

On remarque que :

  • \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG}
  • \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}
  • \overrightarrow{AG} = 4\overrightarrow{AB}

Conclusion :

Soit un vecteur \overrightarrow{u} et k un nombre non nul ; les vecteurs  \overrightarrow{u} et k\overrightarrow{u} sont deux vecteurs :

  • Qui ont la même direction
  • Qui ont le même sens si k est positif
  • Qui ont des sens contraires si k est négatif

3 ) Propriété du milieu d’un segment

Activité

Marque le milieu I d’un segment [AB]

  1. Que peut-on dire de \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{IB}
  2. Calculer : \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}
  3. Que peut-on dire de \overrightarrow{AB} et de 2\overrightarrow{AI}

Réponse

  1. \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}
  2. \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}
  3. \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}
  • Propriété 1

Si I est milieu d’un segment [AB] alors :

\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} ; \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} ; \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}

  • Propriété 2

Si \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI} alors I est milieu d’un segment [AB]