1. Symétrie centrale

A)Symétrique centrale(1)

I)Symétrique d’un point

1) activité

  • Traçons un segment [AB] puis placer le point I milieu de [AB]
  • Placer un point O ,puis construire le segment [EF] tel que O soit milieu de [EF]

On dit  que A et B sont symétriques par rapport à I .De même  E et F sont symétriques par rapport à O

2)Définition

Le point A est le symétrique du point B  par rapport à I signifie que  I est le milieu du segment [AB].

On dit que :

A est le symétrique de B par rapport à I

B est le symétrique de A par rapport à I

3)Notation

B est le symétrique de A par rapport à I se note  SI(A) = B

4) Construction

a) A la règle

Soit A et  I deux points du plan ; placer  A’ symétrique de A par rapport à I.

Reponse :

  • Traçons la droite (AI)
  • Plaçons le point A’ tel que I soit entre A et A’ et que AI= IA’

b)Au compas et à la règle

Soit un point O du plan ; tracer le segment [EF] tel que les points E et F soient symétriques par rapport à O

II)Symétrie d’une figure par rapport a un point

a)Activité

Construire les symétriques des points A ; B ; C ; D ; E et F  de la figure ci-dessous

On dit que la figure A’F’B’C’D’E’ est la figure symétrique de la figure AFBCDE par rapport à G

b)Règle

  • Pour obtenir le symétrique d’une figure par rapport à un point I , on trace les symétriques de tous les points de la figure par rapport à I. On relie les  points en tenant compte de la figure d’origine.
  • Pour reconnaitre deux figure symétriques  par rapport à I ; on vérifie que tous les points de l’une sont les symétriques des points de l’autre et que l’une s’obtient en faisant un demi- tour de l’autre autour de I .

III) Coordonnées du symétrique d’un point

1) Activité

Le plan est muni d’un repère (O ;I ;J) Placer le point A( +5 ; +3). Construire et donner les coordonnées des points suivants :

  • A1 symétrique de A par rapport à O
  • A2 symétrique de A par rapport à  l’axe des ordonnées
  • A3 symétrique de A par rapport à  l’axe des abscisses
  • A4 symétrique de A 2par rapport à  l’axe des abscisses

Réponse :

Dans le repère orthonormé (O ; I ; J) OI=OJ

  • l’axe des abscisses est la droite (xx’) qui est horizontal
  • l’axe des ordonnées est la droite (yy’) qui est vertical

M(x ;y) est le point de coordonnées x et y avec :

x : abscisse de M

y : ordonnée de M

2)Propriété

  • Le symétrique du point A (x ; y) par rapport à l’origine du repère  O est le point de coordonnées (-x ; -y)
  • Le symétrique du point A (x ; y) par rapport à l’axe des abscisses  est le point de coordonnées (x ; -y)
  • Le symétrique du point A (x ; y) par rapport à l’axe des  ordonnées  est le point de coordonnées (-x ; y)

B) Symétrie centrale (2)

I) Propriétés de deux figures symétrique par rapport à un point

1)Les symétriques de trois points alignés

a) Activité

Soient A ; B ; C  trois points alignés et O un point du plan. Construire A’ ; B’ ; C’ symétriques respectifs de A ; B ; C par rapport à O.

Que remarque  – t – on ?

On remarque que les points A’ , B’ et C’ sont alignés

b)Propriété

  • Si des points sont alignés alors leurs symétriques par rapport à un point le sont aussi. On dit que la symétrie centrale conserve l’alignement.
  • Le symétrique d’une droite (AB) par rapport à un point O est une droite (A’B’) parallèle à(AB). On note (AB)=(A’B’)

2)Le symétrique d’un segment

Soit [CD] un segment et O un point du plan. Construire C’ et D’ symétriques respectifs de C et D  par rapport à O.

Que remarque  t-on ?

On remarque les deux segments sont parallèle et ont la même longueur.

Propriété 

Le symétrique d’un segment [AB] par rapport à un point est un segment [A’B’] parallèle à [AB]  et de même longueur.

3)Symétrique d’un angle

Soit  un angle \widehat{ABC} et O un point du plan. Construire  A’ , B’ et C’ symétriques respectifs  de  A, B et C par rapport à O.

Que remarque  t-on ?

On remarque les deux angles ont la même mesure.

Propriété 

Le symétrique d’un angle par rapport à un point  est un angle de même mesure

II)centre de symétrie d’une figure

1)Activité

Construire un parallélogramme ABCD tel que AB = 5cm et BC= 4Cm . Soit I  le point d’intersection de ses diagonales . Construire A’ ; B’ ; C’ ; D’ les symétriques respectifs de A ; B ;C ; D par rapport à I

Que remarque t-on ?

Le symétrique du parallélogramme ABCD par rapport à I est lui-même. C’est à dire ABCD= A’B’C’D’

On dit le point d’intersection I des diagonales est  le centre de symétrie du parallélogramme.

2)Reconnaissance  d’un axe et d’un centre de symétrie d’une figure

  • On reconnait un axe de symétrie d’une figure par pliage suivant une droite .
  • On reconnait un centre de symétrie lorsque la figure est confondue à la figure symétrique par rapport a un point ou en faisant faire un demi-tour autour de ce centre.

III)Figure admettant un centre de symétrie

1)Dessinons et indiquons si possible le centre de symétrie des figures suivantes :

O est le centre de symétrie de ses figures

I est le centre de symétrie de ses figures