1. Symétrie centrale
A)Symétrique centrale(1)
I)Symétrique d’un point
1) activité
- Traçons un segment [AB] puis placer le point I milieu de [AB]
- Placer un point O ,puis construire le segment [EF] tel que O soit milieu de [EF]
On dit que A et B sont symétriques par rapport à I .De même E et F sont symétriques par rapport à O
2)Définition
Le point A est le symétrique du point B par rapport à I signifie que I est le milieu du segment [AB].
On dit que :
A est le symétrique de B par rapport à I
B est le symétrique de A par rapport à I
3)Notation
B est le symétrique de A par rapport à I se note SI(A) = B
4) Construction
a) A la règle
Soit A et I deux points du plan ; placer A’ symétrique de A par rapport à I.
Reponse :
- Traçons la droite (AI)
- Plaçons le point A’ tel que I soit entre A et A’ et que AI= IA’
b)Au compas et à la règle
Soit un point O du plan ; tracer le segment [EF] tel que les points E et F soient symétriques par rapport à O
II)Symétrie d’une figure par rapport a un point
a)Activité
Construire les symétriques des points A ; B ; C ; D ; E et F de la figure ci-dessous
On dit que la figure A’F’B’C’D’E’ est la figure symétrique de la figure AFBCDE par rapport à G
b)Règle
- Pour obtenir le symétrique d’une figure par rapport à un point I , on trace les symétriques de tous les points de la figure par rapport à I. On relie les points en tenant compte de la figure d’origine.
- Pour reconnaitre deux figure symétriques par rapport à I ; on vérifie que tous les points de l’une sont les symétriques des points de l’autre et que l’une s’obtient en faisant un demi- tour de l’autre autour de I .
III) Coordonnées du symétrique d’un point
1) Activité
Le plan est muni d’un repère (O ;I ;J) Placer le point A( +5 ; +3). Construire et donner les coordonnées des points suivants :
- A1 symétrique de A par rapport à O
- A2 symétrique de A par rapport à l’axe des ordonnées
- A3 symétrique de A par rapport à l’axe des abscisses
- A4 symétrique de A 2par rapport à l’axe des abscisses
Réponse :
Dans le repère orthonormé (O ; I ; J) OI=OJ
- l’axe des abscisses est la droite (xx’) qui est horizontal
- l’axe des ordonnées est la droite (yy’) qui est vertical
M(x ;y) est le point de coordonnées x et y avec :
x : abscisse de M
y : ordonnée de M
2)Propriété
- Le symétrique du point A (x ; y) par rapport à l’origine du repère O est le point de coordonnées (-x ; -y)
- Le symétrique du point A (x ; y) par rapport à l’axe des abscisses est le point de coordonnées (x ; -y)
- Le symétrique du point A (x ; y) par rapport à l’axe des ordonnées est le point de coordonnées (-x ; y)
B) Symétrie centrale (2)
I) Propriétés de deux figures symétrique par rapport à un point
1)Les symétriques de trois points alignés
a) Activité
Soient A ; B ; C trois points alignés et O un point du plan. Construire A’ ; B’ ; C’ symétriques respectifs de A ; B ; C par rapport à O.
Que remarque – t – on ?
On remarque que les points A’ , B’ et C’ sont alignés
b)Propriété
- Si des points sont alignés alors leurs symétriques par rapport à un point le sont aussi. On dit que la symétrie centrale conserve l’alignement.
- Le symétrique d’une droite (AB) par rapport à un point O est une droite (A’B’) parallèle à(AB). On note (AB)=(A’B’)
2)Le symétrique d’un segment
Soit [CD] un segment et O un point du plan. Construire C’ et D’ symétriques respectifs de C et D par rapport à O.
Que remarque t-on ?
On remarque les deux segments sont parallèle et ont la même longueur.
Propriété
Le symétrique d’un segment [AB] par rapport à un point est un segment [A’B’] parallèle à [AB] et de même longueur.
3)Symétrique d’un angle
Soit un angle \widehat{ABC} et O un point du plan. Construire A’ , B’ et C’ symétriques respectifs de A, B et C par rapport à O.
Que remarque t-on ?
On remarque les deux angles ont la même mesure.
Propriété
Le symétrique d’un angle par rapport à un point est un angle de même mesure
II)centre de symétrie d’une figure
1)Activité
Construire un parallélogramme ABCD tel que AB = 5cm et BC= 4Cm . Soit I le point d’intersection de ses diagonales . Construire A’ ; B’ ; C’ ; D’ les symétriques respectifs de A ; B ;C ; D par rapport à I
Que remarque t-on ?
Le symétrique du parallélogramme ABCD par rapport à I est lui-même. C’est à dire ABCD= A’B’C’D’
On dit le point d’intersection I des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.
2)Reconnaissance d’un axe et d’un centre de symétrie d’une figure
- On reconnait un axe de symétrie d’une figure par pliage suivant une droite .
- On reconnait un centre de symétrie lorsque la figure est confondue à la figure symétrique par rapport a un point ou en faisant faire un demi-tour autour de ce centre.
III)Figure admettant un centre de symétrie
1)Dessinons et indiquons si possible le centre de symétrie des figures suivantes :
O est le centre de symétrie de ses figures
I est le centre de symétrie de ses figures