6. Addition et soustraction dans ID – Simplification d’écriture
I) Identification de IN et Z+ et de ID et ID+
Soit la droite graduée :
On remarque que : (+1)=1 ; (+5)=5 ainsi l’ensemble des entiers Relatifs positifs Z+ est égal à l’ensemble des entiers Naturels IN.
De même (+3,5)= 3,5 ; (+5,7)=5,7 donc l’ensemble des décimaux relatifs positifs ID+ est égal à l’ensemble des Nombres à virgule ID
II) Addition
1) Propriétés
a) Commutativité
Activité1
Calculer (+9,4) + (-2,3) et (-2,3) + (+9,4) ; (-5) + (-7) et (-7) + (-5) . Que remarque t-on ?
- (+9,4) + (-2,3) = (+7,1)
- (-2,3) + (+9,4) = (+7,1)
- (-5) + (-7) = (- 12)
- (-7) + (-5)= (- 12)
On remarque que (+9,4) + (-2,3) = (-2,3) + (+9,4) et (-5) + (-7) = (-7) + (-5)
Propriété1
Pour tous nombres relatifs a et b on a : a + b = b + a ; on dit que l’addition est commutative dans ID
b) Associativité
Activité 2
Calculer [(+9,4) +(-7)]+ (+2,3) et (+9,4) +[(-7)+ (+2,3)] . Que remarque t-on ?
- [(+9,4) +(-7)]+ (+2,3) = (+4,7)
- (+9,4) +[(-7)+ (+2,3)] = (+4,7)
On remarque que [(+9,4) +(-7)]+ (+2,3) = (+9,4) +[(-7)+ (+2,3)]
Propriété 2
Pour tous nombres relatifs a ; b et c on a : ( a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c ;
on dit que l’addition est associative dans ID
2) Simplification d’écriture
Dans une suite d’addition on convient d’enlever les signe plus et les parenthèses autour de chaque nombre .
Exemple :
- (+9) +(-5)= 9 – 5 = +4=4
- (-7) + (-2)= -7 -2 = – 9
(+2) + (-5) s’écrit plus simplement 2 -5 donc (+2)+(-5) = 2 – 5= -3
III) Opposé d’un nombre relatif
1)Rappel et notation
On a vu en 6ème que (-4) et (+4) sont des nombres opposés . On dit que (+4) est l’opposé de (-4) ou que (-4) est l’opposé de (+4) .
L’opposé de (+4) se note opp(+4)
2) Règle fondamentale
a) Activité
Calculer : (+7,5) + (-7,5) ; (-4,5) + (+4,5)
- (+7,5) + (-7,5) = 7,5 – 7,5 = 0
- (-4,5) + (+4,5)= -4,5 +4,5 = 4,5 – 4,5 = 0
La somme de deux nombres relatifs opposés est toujours égale à 0
b) Propriété
Pour tout nombre relatif « a » on a :
- a + opp(a)= 0
- Opp(a) = -a
3)Opposé d’une somme
a) Activité
Recopier et compléter le tableau suivant
Que remarque t-on ?
| A | b | a+b | Opp(a+b) | Opp(a) | Opp(b) | Opp(a) +opp(b) |
| +4 | +7 | +11 | -11 | -4 | -7 | -11 |
| +8 | -10 | -2 | +2 | -8 | +10 | +2 |
| -5 | -2 | -7 | +7 | +5 | +2 | +7 |
On remarque que dans chaque cas Opp(a + b) =opp(a) + opp(b)
b)Propriété
Pour tous nombres relatifs« a » et « b » on a :
opp(a+b)= opp(a) + opp(b)
- (a+b) = (-a) + (-b)
- (a+b) = -a – b
IV) Soustraction dans ID
1) Activité
Calculons 10 – 5 et 4 – 11
10- 5 = 5 et l’opération 4 – 11 nous semble impossible mais en posant 4 – 11 = 4 + (-11) on trouve 4 – 11 = 4 + (-11) =(-7) ; on remarque que 4 – 11 = 4 + opp(11) ; ainsi soustraire un nombre c’est ajouter son opposé
2) Propriété
Pour tous nombres relatifs a et b on a : a – b = a + opp(b).
3) Ecriture simplifiée
a) Définition
Une suite d’addition ou de soustraction s’appelle somme algébrique
b) Règle de suppression des parenthèses
Règle1
Dans une somme algébrique lorsqu’une parenthèse est précédée d’un signe « moins (-) » on peut supprimer la parenthèse et le signe « moins (-) » à condition de changer le signe des nombres qui se trouve entre les parenthèses.
Exemple
A= (-7) – (+6) – (-9)= -7 – 6 + 9
Règle 2
Dans une somme algébrique lorsqu’une parenthèse est précédée d’un signe « plus (+) » on peut supprimer la parenthèse et le signe « plus (+) » sans changer le signe des nombres qui se trouvent entre les parenthèses.
Exemple
A= (-7) + (+6) + (-9)= -7 + 6 – 9
c) Règles de calcul d’une somme algébrique
Pour calculer une somme algébrique on doit :
- Supprimer les parenthèses en appliquant les règles de suppression des parenthèses
- Soit regrouper les nombres précédés de signe (+) et ceux précédés de signe (-) avant de calculer
- Soit faire les calculs dans l’ordre qui nous parait le plus simple
Exemple
Calculons
- A = (5 + 9 -4) – ( 3 + 8 – 12) + ( -4 – 15 + 13 )
- A = 5 + 9 -4 -3 – 8 +12 -4 – 15 + 13
- A=5+9+12+13 -4-3-8-4-15
- A= 39 – 34 = 5
Remarque : Si la somme algébrique comporte des parenthèses à l’intérieur de crochets ; on supprime d’abord les parenthèses et ensuite les crochets.
