2 : Dérivation des fonctions numériques – Tle L

I. Nombre dérivé – fonction dérivée

1. Définition

Soit f une fonction numérique et (C) sa courbe représentative.
Soit x_0 un élément de l’ensemble de définition de f, A le point de (C) d’abscisse x_0.
a) Si on peut tracer la tangente à (C) au point A, le coefficient directeur de cette tangente s’appelle le nombre dérivé de f en x_0  et se note f’(x_0). On dit alors que f est dérivable en x_0.
b) Soit I  un intervalle de l’ensemble de définition de f. Si f est dérivable en tout élément de I, on dit que f est dérivable sur I.
La fonction définie alors de I  vers \R qui à tout x de I  associe le nombre dérivé de f en x  s’appelle la fonction dérivée de f sur I ; on la note f'.
f' : I \rightarrow \R \\ ~~ x \mapsto f'(x)

2. Equation de la tangente à une courbe en un point

Soit f une fonction numérique dérivable sur un intervalle I et (C) sa courbe représentative, x_0 un élément de I  et A le point de (C) d’abscisse x_0.
La tangente en A à (C) a pour équation y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0).

3. Fonctions dérivées de fonctions usuelles

II. Dérivée d’une somme- d’un produit – d’un quotient

1. Rappel

Soit u et v deux fonctions numériques définies et dérivables sur un même intervalle I.
a) La fonction ( u + v) est dérivable sur I  et pour tout élément x de I, (u +v)’(x) = u’(x) +v’(x)
b) Si a est un réel quelconque, la fonction (a.u) est dérivable sur I et pour tout élément x de I, (a.u)’(x) = a.u’(x)
c) La fonction (u.v) est dérivable sur I  et pour tout élément x de I, (u.v)’(x) = u’(x).v(x) +v’(x) .u(x)
d) Si n \in \N (n \geq 1), la fonction (u^n) définie par (n^n)(x) = [u(x)]^n est dérivable sur I  et pour tout élément x de I, (u^n)'(x) = n.u'(x) \times u^{n-1} (x).
e) S’il existe un intervalle J de I sur lequel v ne s’annule pas alors les fonctions \dfrac{1}{v} et \dfrac{u}{v} sont dérivables sur J et pour tout élément x de J,
(\dfrac{1}{v})' (x) = \dfrac{-v'(x)}{v^2(x)} et (\dfrac{u}{v} )' (x) = \dfrac{u'(x)v(x) - v'(x)u(x)}{v^2(x)}

Cas particuliers

• Pour tout entier naturel supérieur à 1 ; (x^n)' = nx^{n-1}
• Si a  et b sont deux réels (a \ne 0) alors pour tout réel x différent de -\dfrac{b}{a} ; (\dfrac{1}{ax+b})' = \dfrac{-a}{(ax+b)^2}

Conséquences

• Toute fonction polynôme est dérivable sur \R.
• Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle de son ensemble de définition.

III. Théorème

Soit f une fonction numérique définie et dérivable sur un intervalle I. Soient  a et b deux réels.
Pour tout réel x tel que ax + b est un élément de I, on a : [f(ax + b)]' = af'(ax + b)

Cas particulier

Si a et b sont deux réels alors la fonction x \mapsto \sqrt{ax+b} est dérivable sur tout intervalle de \R sur lequel ax+b>0  et (\sqrt{ax+b})' = \dfrac{a}{2 \sqrt{ax+b}}

Exemple :
La fonction f(x)=\sqrt{2x+4} est dérivable sur ]-2~;~+\infty [ et pour tout réel x de cet intervalle,
f'(x) = \dfrac{2}{2 \sqrt{2x+4}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+4}}

IV. Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction.

Rappels

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
a) Si f est croissante sur I  alors \forall ~x \in I;~ f'(x) \geq 0
b) Si f est décroissante sur I  alors \forall ~x \in I;~ f'(x) \leq 0
c) Si f'(x) \geq 0,~\forall ~x \in I ; alors f est croissante sur I.
d) Si f'(x) \leq 0,~\forall ~x \in I ; alors f est décroissante sur I.

Exemple :
Etudier le sens de variation de :
a) f(x) = 3x^2 - x + 1
b) g(x) = \dfrac{x+2}{2x+1}

Corrigé :

a) D_f = \R \\ \forall ~x \in \R ~;~ f’(x) = 6x – 1
Signe de f ’(x).
f ’(x) \geq 0 \Leftrightarrow 6x - 1 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 6x \geq 1 \\ \Leftrightarrow x \geq \dfrac{1}{6}

Ainsi, pour x \in ~]-\infty ~;~\dfrac{1}{6}] ~;~f'(x) \leq 0  donc f est décroissante.
Pour x \in~[-\dfrac{1}{6} ~;~+\infty[ ~;~f'(x) \geq 0 donc f est croissante.

b) D_g = ]-\infty ~;~ - \dfrac{1}{2}[ \cup ]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty[.
\forall ~x\in ~D_g~;~g'(x) = \dfrac{(2x+1)-2(x+2)}{(2x+1)^2} = \dfrac{2x+1-2x-4}{(2x+1)^2} = \dfrac{-3}{(2x+1)^2}
Signe de g’(x).
\forall ~x\in ~D_g~;~(2x+1)^2 \geq 0 et -3<0 donc \dfrac{-3}{(2x+1)^2} < 0
g'(x)<0 donc g est décroissante sur D_g.

V. Extremum d’une fonction

1. Définition

Soit f une fonction numérique et  I  un intervalle de son ensemble de définition. Soit x_0 \in ~I.

• On dit que f présente en x_0 un minimum relatif lorsque pour tout réel x de I ;
  on a f(x) \geq f(x_0). On dit alors que f(x_0) est un minimum de f sur I.
• On dit f présente en x_0 un maximum relatif lorsque pour tout réel x de I ; on a f(x) \leq f(x_0). On dit alors que f(x_0) est le maximum de f sur I.

Le maximum ou le minimum d’une fonction sur un intervalle s’appelle son extremum.

2. Théorème

Soit f une fonction numérique dérivable sur un intervalle ouvert I  de son ensemble de définition. Soit x_0 \in ~I.
– Si f admet un extremum en x_0 alors f'(x_0) =0.
– Si f ’ s’annule en x_0 en changeant de signe alors f admet en x_0 un extremum.