Corrigés – Loi binomiale – Tle A1 et B

Exercice 1

1) Le forage conduit à une nappe de pétrole avec une probabilité 0,1 ou pas avec une probabilité 0,9. C’est donc bien une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,1. Il a bien que deux issues possibles.
2.a) Les forages doivent être indépendants pour que X suive une loi binomiale.
b) p(X \geq 1) =1 ~-~ p(X=0) = 1 ~-~0,9^9 \approx 0,613

Exercice 2

On considère que le tirage de 1000 résistances a lieu avec remise et que donc les tirages sont indépendants les uns des autres. Le nombre X de résistances défectueuses suit donc une loi binomiale de paramètres 1000 et 0,005.
a) p(X = 2) = \dbinom{1000}{2} \times 0,005^2 \times 0,995^{998} =499500 \times 0,005^2 \times 0,995^{998} \approx 0,084

b) p(X \leq 2) = p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) \\ p(X \leq 2) = \dbinom{1000}{0} \times 0,995^{1000} + \dbinom{1000}{1} \times 0,005 \times 0,995^{999} + \dbinom{1000}{2} \times 0,005^2 \times 0,995^{998} \approx 0,124

b) p(X \geq 2) = 1~-~p(X\leq 1) = 1~-~ p(X=0) ~-~ p(X=1) \\ p(X \geq 2) = 1- 0,995^{1000} – 1000 \times 0,005 \times 0,995^{999} \approx 0,960

Exercice 3

1) Les interrogations se font de manière indépendante les unes des autres et à chaque interrogation la probabilité d’avoir une fille est \dfrac{20}{30} soit \dfrac{2}{3} donc X suit une loi binomiale de paramètres n et \dfrac{2}{3}.

2) Pour n=10
p(X=4) = \dbinom{10}{4} \times (\dfrac{2}{3}) ^4 \times (\dfrac{1}{3}) ^6 = 210 \times \dfrac{16}{81} \times \dfrac{1}{729} \approx 0,057
p(X=4) = 1~-~p(X \leq 3) \approx 0,980

3) On cherche n tel que p(X=0) \leq 0,001 or p(X=0) = \dbinom{n}{0} \times (\dfrac{2}{3}) ^0 \times (\dfrac{1}{3}) ^n = \dfrac{1}{3^n} \\ p(X=0) \leq 0,001 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3^n} \leq 0,001 \Leftrightarrow 3^n \geq \dfrac{1}{0,001} \Leftrightarrow 3^n \geq 1000
A l’aide d’un tableau de valeur de la calculatrice, on a 3⁶ = 729 et 3⁷ = 2187 donc n ≥ 7
Il faut donc interroger pendant au moins 7 jours consécutifs pour que la probabilité de n’avoir aucune fille soit inférieure à 0,001.

Exercice 4

1) Les tirages sont indépendants et à chacun des deux tirages, on a 2 chances sur 10 d’avoir une boule gagnante. Le nombre de boules gagnantes suit donc une loi binomiale de paramètres 2 et \dfrac{1}{5}.
2) Dans le cas général, Y suit une loi binomiale de paramètres 2 et \dfrac{2}{n}

q_n = p(Y=1) = \dbinom{1}{2} \times (\dfrac{2}{n})^1 \times (\dfrac{n-2}{n})^1 = 2 \times \dfrac{2}{n} \times \dfrac{n-2}{n} = \dfrac{4n-8}{n^2}

Exercice 5

1) A la calculatrice :
p(X=3) \approx 0,012 ;
p(X=17) \approx 0,00004 ;
p(X=10) \approx 0,117.

2) p(X \leq 1) \approx 0,0005 ;
p(X \geq 18) = 1~-~p(X\leq 17) \approx 0,99996 ;
p(X \leq 15) \approx 0,9997
et p(X \geq 10) = 1~-~p(\leq 9) \approx 0,840.

Exercice 6

1) p(X=3) \approx 0,126 ;
p(X=17) \approx 4 \times 10^{-14} ;
p(X=10) \approx 2 \times 10^{-6}.

2) p(X \leq 1) \approx 0,555 ;
p(X \geq 18) = 1~-~ p(X \leq 17) \approx 0 ;
p(X \leq 15) \approx 10^{-11}
et p(X \geq 10) = 1~-~ p(X\leq 9) \approx 2 \times 10^{-6}

Exercice 7

1) \binom{6}{1} est le nombre de chemin conduisant à exactement un succès en 6 coups. Il y a 6 possibilités.

2) \binom{7}{2} = \binom{6}{2} + \binom{6}{1} = 15 + 6 = 21

3) \binom{7}{5} = \binom{7}{7-2} = \binom{7}{2} = 21

Exercice 8

VRAI car \binom{12}{9} = \binom{12}{12-9} = \binom{12}{3}

VRAI car \binom{8}{4} = \binom{7}{4} + \binom{7}{3} = \binom{7}{7-4} + \binom{7}{3} = \binom{7}{3} + \binom{7}{3} = 2\binom{7}{3}

FAUX car \binom{9}{5} = 126 et 3\binom{8}{5} = 3 \times 56 = 168

Exercice 9

\binom{25}{0} = 1 ;

\binom{22}{23} = \binom{23}{1} = 23 ;

\binom{15}{15} = 1 ;

\binom{2013}{1} = 2013

Exercice 10

\binom{52}{0} = 270725 ;

\binom{23}{22} = 10626 ;

\binom{13}{7} = 1716 ;

\binom{2013}{2000} = 1,37 \times 10^{33}

Exercice 11

\binom{2}{2} + \binom{3}{2} + \binom{4}{2} + \binom{5}{2} + \binom{6}{2}

= \binom{3}{3} + \binom{3}{2} + \binom{4}{2} + \binom{5}{2} + \binom{6}{2}

= \binom{4}{3} + \binom{4}{2} + \binom{5}{2} + \binom{6}{2}

= \binom{5}{3} = \binom{5}{2} + \binom{6}{2}

= \binom{6}{3} + \binom{6}{2} = \binom{7}{3}

Exercice 12

\binom{6}{2} = 15 ;

\binom{6}{3} = 20 ;

\binom{6}{4} = 15

et \binom{6}{5} = 6