Loi binomiale – Tle A1 et B

I. Epreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli

On va s’intéresser aux expériences aléatoires ne comportant que deux issues possibles pour le moment.

Définition :
Epreuve de Bernoulli On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre 𝑝, toute expérience aléatoire admettant deux issues exactement :
– l’une appelée « succès » notée 𝑆 dont la probabilité est 𝑝
– l’autre appelée « échec » notée \overline{S} dont la probabilité est 1− 𝑝

Exemple :
On lance un dé cubique supposé équilibré et on s’intéresse à la réalisation de l’issue 𝑆:”𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑟 𝑢𝑛 6″. C’est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = \dfrac{1}{6}.

Propriété et définition :
Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre 𝑝, la variable aléatoire 𝑋 prenant la valeur 1 si 𝑆 se réalise et 0 sinon, a pour loi de probabilité 𝑃(𝑋=0) = 1−𝑝 et 𝑃(𝑋=1)=𝑝 (ou faire tableau). Son espérance est 𝐸(𝑋)=0 \times (1−𝑝)+1 \times 𝑝 = 𝑝 et sa variance est 𝑉(𝑋) = 𝑝(1−𝑝).
On dit que 𝑋 suit la loi de Bernoulli de paramètre 𝑝.

Démonstration :
𝑃(𝑋=1) = 𝑃(𝑆)=𝑝 𝑒𝑡 𝑃(𝑋=0) = 𝑃(\overline{S}) = 1−𝑝
𝐸(𝑋) = 0 \times (1−𝑝)+1 \times 𝑝 = 𝑝
𝑉(𝑋) = (1−𝑝) \times (0−𝑝)2 + 𝑝 \times (1−𝑝)2 = 𝑝(1−𝑝)[(1−𝑝) + 𝑝] = 𝑝(1−𝑝)

II. Schéma de Bernoulli

On va s’intéresser dorénavant aux expériences aléatoires qui sont des répétitions d’épreuve de Bernoulli identiques et indépendantes.

Définition :
Schéma de Bernoulli On appelle schéma de 𝑛 épreuves de Bernoulli de paramètre 𝑝, avec 𝑛 ∈ ℕ^∗ et 𝑝 ∈ [0,1], toute expérience aléatoire consistant à répéter 𝑛 fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre 𝑝.

Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre pondéré ; un résultat est une liste de 𝑛 issues de S ou \overline{S} ; ce peut être (\overline{S},S,\overline{S},S,S) dans un schéma de 5 épreuves.
Le chemin codé \overline{S},S,\overline{S},S,S qui y conduit réalise 3 succès lors des 5 répétitions.

Définition : Coefficients binomiaux
On considère un schéma de 𝑛 épreuve de Bernoulli, avec 𝑛 ∈ ℕ^∗, représenté par un arbre. Pour 𝑘 entier, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, on note \binom{n}{k} le nombre de chemins de l’arbre réalisant 𝑘 succès lors des 𝑛 répétitions. On appelle ces nombres des coefficients binomiaux.
Par convention, on pose \binom{0}{0} = 1.

Notation : \binom{n}{k} se lit «𝑘 parmi 𝑛»

Exemple :
Une urne contient 100 boules : 60 blanches et 40 rouges.
On prélève successivement et avec remise trois boules aux hasards, en notant la couleur des boules.

1. L’expérience aléatoire est une répétition de 𝑛=3 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes car successives et avec remise, dont le succès est l’évènement 𝑆:”𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒” avec 𝑝 = 𝑃(𝑆)= \dfrac{60}{100} = 0,6.
On en conclut que l’expérience aléatoire est un schéma 𝑛=3 épreuve de Bernoulli.
On peut illustrer par un arbre pondéré l’expérience aléatoire.

2. On nomme les évènements suivants :
𝐴 : “Obtenir deux boules blanches puis une boule rouge”
𝐵 : “Obtenir 3 boules rouges”
𝐶 : “Obtenir exactement 2 boules rouges”

𝐴=\lbrace SS\overline{S} \rbrace ~~ 𝐵=\lbrace \overline{S}~\overline{S}~\overline{S} \rbrace ~ 𝑒𝑡 ~𝐶= \lbrace \overline{S}~\overline{S}S ~,~ \overline{S}S\overline{S} ~,~ S\overline{S}~\overline{S} \rbrace
𝑃(𝐴)=0,6×0,6×0,4=0,144
𝑃(𝐵)=0,4^3=0,064
𝑃(𝐶)=3×0,6^2×0,4=0,432

3. On va calculer tous les \binom{3}{k} :
\binom{3}{0}=1 ; \binom{3}{1}=3 ; \binom{3}{2}=3 ; \binom{3}{3} = 1

III. Propriétés des \binom{n}{k}

La question est simple : Comment calculer rapidement \binom{n}{k} ?

Triangle de pascal
\binom{n}{k} se trouve à l’intersection de la ligne n et de la colonne k.
– La propriété 2 permet de placer tous les 1.
– La propriété 4 permet de compléter les autres cases.
– La propriété 3 justifie la symétrie des \binom{n}{k} observée sur chaque ligne.

Propriété 1 :
Pour tout entier 𝑛 ≥ 0,
\binom{n}{0} =1 ; \binom{n}{n} =1

Démonstration :
Le seul chemin qui conduit à 0 succès lors des 𝑛 répétitions, c’est \overline{S}~\overline{S}~\overline{S} ... \overline{S}. D’où \binom{n}{0}=1.
Le seul chemin qui conduit à 𝑛 succès lors des 𝑛 répétitions, c’est SSS ... S. D’où \binom{n}{n}=1.

Propriété 2 :
Pour tout entiers naturels 𝑛 et 𝑘 tels que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛,
\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Démonstration :
Si 𝑛 = 0 alors 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 donne 𝑘=0 et l’égalité est vérifiée.
Si 𝑛>0, alors sur l’arbre représentant le schéma de 𝑛 épreuves de Bernoulli, \binom{n}{k} est le nombre de chemins réalisant 𝑘 succès, donc aussi le nombre de chemin réalisant 𝑛−𝑘 échecs.
Par ailleurs, \binom{n}{n-k} est le nombre de chemins réalisant 𝑛−𝑘 succès.
Par symétrie de l’arbre, on a donc \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.

Propriété 3 :
Pour tout entiers naturels 𝑛 et 𝑘 tels que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛,
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}

Démonstration : Sur l’arbre représentant un schéma de Bernoulli avec 𝑛 répétitions, les chemins qui conduisent à 𝑘 succès sont ceux qui conduisent à :

• 𝑘−1 succès lors des 𝑛−1 premières répétitions puis à un succès lors de la 𝑛-ième. Il y en a \binom{n-1}{k-1}.
• 𝑘 succès lors des 𝑛−1 premières répétitions puis à un échec lors de la 𝑛-ième. Il y en a \binom{n-1}{k}.

IV. Loi binomiale

Propriété et définition :
Dans un schéma de 𝑛 épreuves de Bernoulli de paramètre 𝑝, la variable aléatoire 𝑋 qui compte les succès a pour loi de probabilité :
𝑃(𝑋=𝑘)=\binom{n}{k}𝑝^𝑘(1−𝑝)^𝑛−𝑘, où 𝑘 ∈ {0, 1, 2, …, 𝑛} (𝑘 ∈ ⟦0 ; 𝑛⟧)
Son espérance est 𝐸(𝑋)=𝑛𝑝.
Sa variance est 𝑉(𝑋)=𝑛𝑝(1−𝑝) et son écart-type est \sigma (X) = \sqrt{np(1-p)}
On dit que 𝑋 suit la loi binomiale de paramètre 𝑛 et 𝑝, notée 𝐵(𝑛;𝑝).

Démonstration : Dans un schéma de 𝑛 épreuves de Bernoulli, la variable aléatoire 𝑋 qui compte les succès prend pour valeurs 0,1,2,…,𝑛.
Pour un entier 𝑘 compris entre 0 et 𝑛, l’évènement {𝑋=𝑘} est représenté dans l’arbre par les chemins qui comporte 𝑘 succès et (𝑛−𝑘) echecs. Il en existe \binom{n}{k}.

Or chacun de ces chemins, comportant exactement 𝑘 fois 𝑆 et 𝑛−𝑘 fois \overline{S}, a pour probabilité 𝑝^𝑘(1−𝑝)^𝑛−𝑘.
Il en résulte que :
𝑃(𝑋=𝑘)=\binom{n}{k}𝑝^𝑘(1−𝑝)^𝑛−𝑘 , 𝑘 ∈ [0 ; 𝑛]

Exemple : Si on reprend l’exemple précédent.
Une urne contient 100 boules : 60 blanches et 40 rouges.
On prélève successivement et avec remise trois boules aux hasards, en notant la couleur des boules.

On a montré que l’expérience aléatoire est un schéma de Bernoulli de 𝑛=3 épreuves dont le succès 𝑆:”𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒” a une probabilité est 𝑝=0,6. Donc la variable aléatoire 𝑋 qui compte le nombre de succès (i.e. le nombre de boule blanche) suit une loi binomiale de paramètre
𝐵(3 ; 0,6) avec 𝑃(𝑋=𝑘) = \binom{3}{k}0,6^𝑘0,4^𝑛−𝑘
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝑋=2) = \binom{3}{2}0,6²0,4¹ = 0,432
De même, 𝐸(𝑋) = 3×0,6 = 1,8 et 𝜎(𝑋)= \sqrt{3 \times 0,4 \times 0,6} \approx 0,85

Calcul à la calculatrice ou tableur d’une probabilité d’une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre 𝑛=12 𝑒𝑡 𝑝=0,8