Corrigés – Primitive – Calcul Intégral – Tle A1 et B
Exercice 1
a) f(x) = x+3 \\ F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 3x + c ~~ (c\in \R)
b) f(x) = 5x-7 \\ F(x) = 5 \times (\dfrac{1}{2}x^2) – 7x + c ~~ (c\in \R) \\ F(x) = \dfrac{5}{2} x^2 – 7x+c ~~ (c\in \R)
c) f(x) = -3x^2+2x-1 \\ F(x) = -3 \times (\dfrac{1}{3} x^3) + 2 \times (\dfrac{1}{2} x^2) -x+c ~~ (c\in \R) \\ F(x) = -x^3 + x^2 – x +c ~~ (c\in \R)
d) f(x) = \dfrac{1}{x^5} \\ F(x) = \dfrac{-1}{(5-1) \times x^{5-1}} + c ~~ (c\in \R) \\ ~~ \\ F(x) = \dfrac{-1}{4x^4}+c ~~ (c\in \R)
e) f(x) = 2x-\dfrac{4}{x^3} = 2x-4 \times \dfrac{1}{x^3} \\ ~~ \\ F(x) = 2 \times (\dfrac{1}{2} x^2) – 4 \times \dfrac{-1}{(3-1) \times x^{3-1}} + c ~~ (c\in \R) \\ ~~ \\ F(x) = x^2 + \dfrac{4}{2x^2} + c ~~ (c\in \R) \\ ~~ \\ F(x) = x^2 + \dfrac{2}{x^2} +c ~~ (c\in \R)
f) f(x) = -x^3+\dfrac{3}{4}x^2+8 \\ ~~ \\ F(x) = – \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{3}{4} \times (\dfrac{1}{3}x^3) + 8x +c ~~ (c\in \R) \\ ~~ \\ F(x) = – \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{4} x^3 + 8x +c ~~ (c\in \R)
g) f(x) = \dfrac{3}{\sqrt{x}} = 3 \times \dfrac{1}{\sqrt{x}} \\ F(x) = 3 \times 2 \sqrt{x} + c ~~ (c\in \R) \\ F(x) = 6 \sqrt{x} + c ~~ (c\in \R)
h) f(x) = 5x^4 – \dfrac{7}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{8x^3} = 5x^4 – \dfrac{7}{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{x^3} \\ ~~ \\ F(x) = 5 \times (\dfrac{1}{5} x^5) – \dfrac{7}{2} \times 2\sqrt{x} + \dfrac{1}{8} \times \dfrac{-1}{(3-1) \times x^{3-1}} + c ~~ (c\in \R) \\ ~~ \\ F(x) = x^5 -7\sqrt{x} + \dfrac{1}{8} \times \dfrac{-1}{2 \times x^{2}} + c ~~ (c\in \R) \\ ~~ \\ F(x) = x^5 -7\sqrt{x} + \dfrac{-1}{16 x^{2}} + c ~~ (c\in \R) \\ ~~ \\ F(x) = x^5 -7\sqrt{x} ~- \dfrac{1}{16 x^{2}} + c ~~ (c\in \R)
Exercice 2
a) La fonction est de la forme u’u^n avec u(x)=3x+4 et n=3
Exprimons 7 en fonction de u'(x).
3x+4=u(x) \Rightarrow (3x+4)’=u'(x) \\ \Rightarrow 3=u'(x) \\ \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{3}u'(x) \\ \Rightarrow 7 \times 1 = 7 \times \dfrac{1}{3} u'(x) \\ \Rightarrow 7 = \dfrac{7}{3} u'(x)
Donc f(x) = \dfrac{7}{3} u'(x) \times [u(x)]^3
f(x) = \dfrac{7}{3} u'(x) \times [u(x)]^3 \Rightarrow F(x) = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{1}{3+1} [u(x)]^{3+1} + c ~~(c\in \R) \\ ~~ \\ \Rightarrow F(x) = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{1}{4} (3x+4)^{4} + c ~~(c\in \R) \\ ~~ \\ \Rightarrow F(x) = \dfrac{7}{12} (3x+4)^{4} + c ~~(c\in \R)
Un primitive de f(x) = 7(3x+4)^3 est F(x) = \dfrac{7}{12} (3x+4)^{4} + c ~~(c\in \R)
b) La fonction est de la forme u’u^n avec u(x)=6x^2+3 et n=4
Exprimons 12x en fonction de u'(x)
6x^2+3 =u(x) \Rightarrow (6x^2 + 3)’ = u'(x) \\ \Rightarrow 12x = u'(x)
Donc f(x)=u'(x) \times [u(x)]^4
f(x)=u'(x) \times [u(x)]^4 \Rightarrow F(x) = \dfrac{1}{4+1} [u(x)]^{4+1} + c ~~(c\in \R) \\ \Rightarrow F(x) = \dfrac{1}{5} (6x^2 +3)^{5} + c ~~(c\in \R)
c) La fonction est de la forme \dfrac{u’}{u^n} avec u(x) = 5x-3 et n=4
Exprimons 5 en fonction de u'(x)
5x-3 = u(x) \Rightarrow (5x-3)’ = u'(x) \\ \Rightarrow 5 = u'(x)
Donc f(x) = \dfrac{u'(x)}{[u(x)]^4}
f(x) = \dfrac{u'(x)}{[u(x)]^4} \Rightarrow F(x) = \dfrac{-1}{(4-1)[u(x)]^{4-1}} + c ~~(c \in \R) \\ ~~ \\ \Rightarrow F(x) = \dfrac{-1}{3(5x-3)^{3}} + c ~~(c \in \R
d) La fonction est de la forme \dfrac{u’}{u^n} avec u(x) = 3x+10 et n=3
Exprimons 2 en fonction de u'(x)
3x+10 = u(x) \Rightarrow (3x+10)’ = u'(x) \\ \Rightarrow 3 = u'(x) \\ \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{3}u'(x) \\ \Rightarrow 2 \times 1 = 2 \times \dfrac{1}{3}u'(x) \\ \Rightarrow 2 = \dfrac{2}{3}u'(x)
Donc f(x) = \dfrac{\dfrac{2}{3}u'(x)}{[u(x)]^3}
f(x) = \dfrac{\dfrac{2}{3}u'(x)}{[u(x)]^3} \Rightarrow f(x) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{u'(x)}{[u(x)]^3} \\ ~~ \\ \Rightarrow F(x) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{-1}{(3-1)[u(x)]^{3-1}} + c ~~(c \in \R) \\ ~~ \\ \Rightarrow F(x) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{-1}{2(3x+10)^{2}} + c ~~(c \in \R) \\ ~~ \\ \Rightarrow F(x) = \dfrac{-1}{3(3x+10)^{2}} + c ~~(c \in \R)
e) La fonction est de la forme \dfrac{u’}{\sqrt{u}} avec u(x) = 2x^2-9
Exprimons x en fonction de u'(x)
2x^2-9 = u(x) \Rightarrow (2x^2 -9)’ = u'(x) \\ \Rightarrow 4x = u'(x) \\ \Rightarrow x = \dfrac{1}{4}u'(x)
Donc f(x) = \dfrac{\dfrac{1}{4}u'(x)}{\sqrt{u(x)}}
Exercice 3
Un primitive de f est F(x) = 2^2 -3x +c avec c \in \R
Déterminons la primitive F de f qui vérifie la condition F(1) = 2.
F(1) = 2 \Rightarrow 1^2 -3 \times 1 + c = 2 \\ \Rightarrow 1 – 3 + c = 2 \\ \Rightarrow – 2 + c = 2 \\ \Rightarrow c = 2+2 \\ \Rightarrow c = 4
On conclut donc que la primitive F de f qui vérifie la condition F(1)=2 est la fonction F(x) = x^2 -3x +4
Exercice 4
Calculons A
Déterminons une primitive de la fonction f définie par f(x) = x^2 -2x +3
Un primitive de f est F(x) = \dfrac{1}{3} x^3 – x^2 + 3x
Donc A = \displaystyle\int _0^1 (x^2 – 2x+3)dx
A = F(1) – F(0)
A = \dfrac{1}{3} \times 1^3 – 1^2 + 3 \times 1 – (\dfrac{1}{3} \times 0^3 – 0^2 + 3 \times 0)
A = \dfrac{1}{3}~ – 1 + 3
A = \dfrac{7}{3}
Calculons B
Déterminons une primitive de la fonction f définie par f(x) = \dfrac{4}{x^2}+x-1
Un primitive de f est F(x) = -\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{2} x^2 – x
Donc B = \displaystyle\int _1^2 (\dfrac{4}{x^2}+x-1)dx = F(2) – F(1)
B = – \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} \times 2^2 – 2 – (-\dfrac{4}{1} + \dfrac{1}{2} \times 1^2 -1)
B = – 2 – (-\dfrac{9}{2} )
B = \dfrac{5}{2}
Exercice 5
1) La fonction g est une primitive de la fonction f sur \R si pour tout x élément de \R on a : g'(x) = f(x)
Montrons que g est une primitive de f sur \R.
\forall ~x \in \R , ~~ g'(x) = (\dfrac{1}{3} x^3 – x^2 +2x +1)’ \\ g'(x) = \dfrac{1}{3} \times 3x^2 – 2x+2 \\ g'(x) = x^2 – 2x +2 \\ g'(x) = f(x)
On en déduit que la fonction g est une primitive de la fonction f sur \R.
2) Calculons l’aire A de la partie du plan délimitée par la courbe (C_f), l’axe des abscisses (OI) et les droites d’équations respectives x=0 et x=1.
A = \displaystyle\int _0^1 f(x) dx \times ua ; avec ua=OI \times OJ ~cm^2 = 1~cm^2
A = [g(x)]_0^1 \times 1~cm^2 ; car g est une primitive de f
A = (g(1) – g(0)) \times 1~cm^2
A = [(\dfrac{1}{3} \times 1^3 – 1^2 +2 \times 1+1) -1] \times 1~cm^2
A = (\dfrac{7}{3} – 1 ) \times 1~cm^2
A = \dfrac{4}{3} ~cm^2
A = 1,33~cm^2