Primitive – Calcul Intégral – Tle A1 et B

I. Primitives

a- Définition

On dit que la fonction F est une primitive de la fonction f sur un intervalle [a ; b] de \R si pour tout x appartenant à l’intervalle [a ; b], la dérivée F'(x) de F est égale à f(x).
C’est-à-dire que : pour tout x \in ~ [a~;~b], F'(x) = f(x)

Exemple
- La fonction F(x) = x^2 est une primitive de la fonction f(x) = 2x sur \R car pour tout x \in ~\R, ~F'(x) = f(x) = 2x
- La fonction F(x) = 3x^2 - x +2 est une primitive de la fonction f(x) = 6x -1 sur \R car pour tout x \in ~\R, ~F'(x) = f(x) = 6x - 1

b. Primitives d’une fonction

Lorsqu’une fonction est continue sur un intervalle, elle admet une infinité de primitives sur cet intervalle
Si F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle [a ; b] de \R alors pour toute autre primitive G de f sur [a ; b] il existe un nombre réel c tel que :
pour tout x \in [a ; b], G(x)=F(x)+c

c. Détermination des primitives d’une fonction continue

Soit a un nombre réel non nul a \ne 0.
Pour déterminer une primitive d’une fonction continue sur un intervalle donné , il est utile et nécessaire de maitriser les formules des deux tableaux ci-dessous

(1) Tableau des primitives de fonctions élémentaires

NB : c est un nombre réel

(2) Tableau des primitives de fonctions

u et v sont des fonctions dérivables, a est un nombre réel

Comment utiliser le tableau 2 ?

Proposition de méthode
Pour déterminer une primitive d’une fonction f continue sur un intervalle donné , on peut procéder par étapes :
1^ère étape : Déterminer à partir de la fonction f donnée, la formule à utiliser
2^ème étape : Savoir reconnaître dans la fonction donnée l’expression de la fonction u
3^ème étape : Dériver la fonction u
4^ème étape : Réécrire la fonction f en fonction de u et u', afin de mieux faire apparaître la formule de la 1^ère étape
5^ème étape : Application des formules du tableau 2

Exemple d’application
Déterminer une primitive sur \R de la fonction f définie par f(x) = 3(2x-1)^5

- 1^ère étape : Détermination à partir de la fonction f donnée de la formule à utiliser
La formule à utiliser est u'u^n avec n=5

- 2^ème étape : Savoir reconnaître la fonction u (Dans l’exemple donné la fonction u est l’expression qui a pour exposant 5)
On a u(x) = 2x-1

- 3^ème étape : Dériver la fonction u
La dérivée de la fonction u est donnée par : u'(x) = 2

- 4^ème étape : On réécrit la fonction f en fonction de u et u'.
On sait que : f(x) = 3(2x-1)^5 et u(x) = 2x-1
Exprimons 3 en fonction u'(x)
2x-1=u(x) \Leftrightarrow (2x-1)' = u'(x) \\ \Leftrightarrow 2 = u'(x) \\ \Leftrightarrow 1 = \dfrac{1}{2}u'(x) \\ \Leftrightarrow 3 \times 1 = 3 \times \dfrac{1}{2}u'(x)
donc f(x) = \dfrac{3}{2} u'(x) \times [u(x)] ^5

- 5^ème étape : Application des formules du tableau général
f= u'u^5 \Rightarrow F = \dfrac{1}{5+1} u^{5+1} + c ~~(c \in~ \R)

f(x) = \dfrac{3}{2}u'(x) \times [u(x)]^5 \Rightarrow F(x) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{5+1} [u(x)]^{5+1} + c ~~(c \in~ \R)

\Rightarrow F(x) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{6} (2x-1)^{6} + c ~~(c \in~ \R)

\Rightarrow F(x) = \dfrac{1}{4} (2x-1)^{6} + c ~~(c \in~ \R)

d. Primitive vérifiant une condition donnée

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] de \R et F une primitive de f, les primitives de f sur [a ; b] sont de la forme : F(x)+c, où c est un nombre réel.
De toutes les primitives F(x)+c de f, il existe une et une seule qui vérifie la condition F(x_0) = y_0
En d’autres termes , la condition F(x_0) = y_0 permet de déterminer la valeur du réel c

II. Calcul Intégral

a. Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et F une primitive de f.
On appelle intégrale de la fonction f entre les réels a et b, le nombre réel noté
tel que :
\displaystyle\int _a^b f(x) dx tel que : \displaystyle\int _a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

- Notation
(1) \displaystyle\int _a^b f(x) dx se lit « intégrale de a à b de f(x) dx»
(2) les réels a et b sont appelés les bornes de l’intégrale
(3) Dans l’expression \displaystyle\int _a^b f(x) dx, x peut être remplacé une autre lettre ou symbole excepté les bornes a et b.
\displaystyle\int _a^b f(x) dx = \displaystyle\int _a^b f(t) dt = \displaystyle\int _a^b f(u) du = ...
On dit que x est une variable muette

Exemple
Sachant que la fonction F(x) = x^2-x-3 est une primitive de la fonction f(x)=2x-1 sur [1 ; 4] , calculer l’intégrale suivante : I = \displaystyle\int _1^4 (2x-1) dx
I = \displaystyle\int _1^4 (2x-1) dx \\ I= F(4) - F(1) \\ I= (4^2 - 4 - 3)-(1^2 - 1 - 3) \\ I= 9-(-3) \\ I= 9 + 3 \\ I= 12

Remarque
Pour calculer l’intégrale définie par I=\displaystyle\int _a^b f(x) dx, il faut d’abord déterminer une primitive F de la fonction f.

Conséquences de la définition

\bullet \displaystyle\int _a^b f(x) dx = 0

\bullet \displaystyle\int _a^b f(x) dx = -\displaystyle\int _b^a f(x) dx (Inversion des bornes)

\bullet \displaystyle\int _a^b k. dx = k.(b-a)~ (k est un réel quelconque)

Propriétés algébriques de l’intégrale

- Linéarité

(1) \displaystyle\int _a^b (f(x) + g(x)) dx = \displaystyle\int _a^b f(x) dx + \displaystyle\int _a^b g(x) dx

(2) \displaystyle\int _a^b k \times f(x) dx = k \times \displaystyle\int _a^b f(x) dx ~;~~ k\in~\R

- Relation de Chasles

\displaystyle\int _a^c f(x) dx = \displaystyle\int _a^b f(x) dx + \displaystyle\int _b^c f(x) dx ~~(a<b<c)
(Utilisée souvent avec les intégrales contenant une valeur absolue)

b. Calcul d’aire

Remarque
Les calculs d’aires se font de manière générale après la construction de la courbe (ou des courbes) et cela permet à l’élève de "visualiser " la partie du plan concernée par ce calcul.

1^er cas : L’aire de la partie du plan limitée par une courbe (C_f), l’axe (OI) des abscisses et les droites d’équations respectives x=a et x=b.

2^ème cas : L’aire de la partie du plan limitée par une courbe (C_f), la droite (D) d’équation y=ax+b et les droites d’équations respectives x=a et x=b.

Les exercices portant sur les primitives au cours des devoirs ont des questions biens précises :

- Montrer que F est une primitive de f ?
Il suffit de calculer la dérivée F' de F et de vérifier que F'(x) = f(x).

- Calculer la dérivée de la fonction h, puis en déduire une primitive de la fonction f
Après avoir calculer la dérivée h' de h; on vérifie que h'(x)=f(x)

- Calculer , en cm², l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe (C_f), la droite (OI) et les droites d’équations respectives x=a et x=b.
Cela revient à calculer \displaystyle\int _a^b f(x) dx \times ua avec ua = OI \times OJ cm²

- Calculer , en cm², l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe (C_f), la droite (D) d’équation y=ax+b et les droites d’équations respectives x=a et x=b.
Cela revient à calculer \displaystyle\int _a^b (f(x) -y) dx \times ua avec ua = OI \times OJ cm²