Corrigé Sujet Bac 2 – Tle L
Exercice 1
1)a) La population : l’ensemble des coureurs (élèves) d’un lycée
Les individus sont les coureurs (élèves).
Le caractère est le temps de parcours en minutes de chaque coureur (élèves)
b) Calculons l’effectif total E_T
E_T=16+28+32+30+14=120
E_T=120
c) La classe modale est [10;12[
d) 76 élèves ont mis moins de 12 minutes pour parcourir la distance.
2) Construction de l’histogramme.
3) Tableau
Exercice 2
1) Les populations chinoises et africaines au 31 octobre 2012 sont :
population chinoise (C_1)
C_1=1.300.000.000+\dfrac{0,5 \times 1.300.000.000}{100} \\ C_1=1.306.500.000
population africaine
A_1= 1. 000. 000. 000 + 0,004\times 1. 000. 000. 000
A_1= 1 .000. 000 .000 (1,004)= 1. 004. 000. 000
Le 31 octobre 2012 la Chine aura 1. 306. 500. 000 habitants et l’Afrique aura 1. 004. 000. 000 habitants.
2)a) Exprimons C_{n+1}~en fonction de~C_n~et~a_{n+1} ~en fonction de a_n
C_{n+1}=C_n\times1,005
a_{n+1}=a_n\times1,004
(C_n) est suite géométrique de raison q=1,005 et de premier terme C_0= 1. 300. 000. 000.
(a_n) est une géométrique de raison q=1,004 et de premier terme a_0= 1. 000. 000. 000
b) Exprimons C_n~et~ a_n en fonction de n.
C_n = 1. 300. 000. 000.000 \times (1,005)^n
a_n = 1.000.000.000 \times (1,004)^n
2) Calculons n
a_n = 2.000.000.000 \Leftrightarrow (1,004)^n = 2
\Leftrightarrow n\ln (1,004) = \ln 2
\Leftrightarrow n=(\dfrac{\ln 2}{\ln (1,004)})+1
\Leftrightarrow n = (\dfrac{0,69}{0,004})+1
\Leftrightarrow n = 173
L’Afrique comptera 2 milliards d’habitants en 2184.
Problème
f(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)+\dfrac{1}{2(x-1)}
1)a) Déterminons l’ensemble de définition D_f de f.
D_f=\lbrace x \in \R /x-1 \not=0\rbrace
x-1\not=0 \Harr x \not=1
D_f=\R / \lbrace 1 \rbrace \\ D_f=]-\infty;1[\cup]1;+\infty [
b) Calculons les limites de f aux bornes de D_f.
2)a) Montrons f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{2(x-1)^2} ~pour tout~x~\in~ D_f
Pour tout x \in D_f;~ \\ f(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)+\dfrac{1}{2(x-1)}
f est dérivable sur D_f et sa fonction dérivée f’ est
f'(x) = \dfrac{1}{2} +(\dfrac{-2}{4(x-1)^2})
f'(x) = \dfrac{4(x-1)^2-4}{8(x-1)^2} = \dfrac{4[(x-1)^2-1]}{8(x-1)^2}
f'(x) = \dfrac{(x-1)^2-1}{2(x-1)^2} = \dfrac{(x-1-1)(x-1+1)}{2(x-1)^2}
f'(x) = \dfrac{x(x-2)}{2(x-1)^2}
Sens de variation de f
f'(x)\geq \Harr \dfrac{x(x-2)}{2(x-1)^2} \geq 0~
or~\forall ~~x \in \Psi;2(x-1)^2\geq0~donc le signe de f’(x) est celui de x(x-2)
Pour x \in ~]-\infty;0]\cup[2 ;+\infty[~; \\ f’(x) \geq 0 donc f est croissante sur cet ensemble.
Pour x \in ~[0;1[\cup]1 ;2]~; \\ f’(x) \leq 0 donc f est décroissante sur cet ensemble
Tableau de variation
f(0)=0~et~f(2)=2
3)a) Montrons que (\Delta) est une asymptote à (C).
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)-y=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{1}{2}(x+1)+\dfrac{1}{2(x-1)}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}
\lim\limits_{\substack{x \rightarrow -\infty}} f(x)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{1}{2(x-1)}=0~donc la droite (\Delta) est asymptote oblique à (C).
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1^-}}f(x)=-\infty~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1^+}}f(x)=+\infty~donc la droite d’équation x=1 est asymptote verticale à (C).
b) Position relative de (C) et de (\Delta)
signe de f(x)-y
f(x)-y \geq 0 \Harr \dfrac{1}{2(x-1)}\geq 0
Pour x\in ~~ ]-\infty ;1[ ; \\ f(x)-y\leq 0 \Harr f(x)\leq y donc sur ]-\infty ;1[ ~(C) est en dessous de~(\Delta)
Pour x \in ~~]1 ;+\infty[;~ \\ f(x)-y \geq 0 \Harr f(x) \geq y donc sur ]1 ;+\infty[~(C) est au dessus de~(\Delta)
4)Construction de (C) et de ses asymptotes
5) Montrons que I(1;1) est centre de symétrie de (C)
I est centre de symétrie si \dfrac{f(1-x)+f(1+x)}{2}=1
\forall ~~x \in D_f; \\ 1-x \in D_f; 1+x\in D_f~
et~f(1-x)=\dfrac{1}{2(1-x-1)}+\dfrac{1}{2}(1-x+1)
f(1-x)=\dfrac{-1}{2x}-\dfrac{1}{2}x+1
\dfrac{f(1-x)+f(1+x)}{2}=\dfrac{\dfrac{-1}{2x}-\dfrac{1}{2}x+1+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2x}+1}{2}=1
donc I(1;1) est centre de symétrie de ( C).
6) Déterminons graphiquement l’ensemble des solutions de l’équation f(x)=m
Pour m \in]-\infty;0[\cup]2 ;+\infty[ ,~f(x)=m admet deux (2) solutions.
Pour m=0 ,f(x)=m admet une seule solution qui est x=0
Pour m=2 , f(x)=m admet une seule solution qui est x=2
Pour m \in~]0;2[,f(x)=m n’a aucune solution.
