Corrigés – Etude des fonctions numériques – Tle L

Exercice 1

Soit f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{3}{2}

1) f est une fonction polynôme,
D_f= \Psi =]-\infty; +\infty[

2) Calcul des limites.

3.a) Détermination de la dérivée.
Pour tout x \in D_f , f est dérivable et f'(x)=-x+1
b) Sens de variations – tableau de variations.
f'(x) \geq 0 \Harr -x+1 \geq 0 \Harr x \leq 1
Pour x \in ~~]-\infty;1];f'(x) \geq 0 donc f est croissante sur ~]-\infty;1]
Pour x \in ~~[1;+\infty[;~f'(x) \leq 0 donc f est décroissante sur [1;+\infty[
c) Tableau de variation

L’ordonnée du point d’abscisse 1 qui est 2 est le maximum de f sur D_f

4) Equation de la tangente (\Delta).
(\Delta) : y=f'(3)(x-3)+f(3)
avec f'(3)=2 et f(3)=0
D’où (\Delta):y=2x-6

5)Construction de (C)~et ~(\Delta)

6) Résolution graphique d’inéquation et d’équation
On trace les droites d’équation
y=0;~y=-6;~y=2~ et y=\dfrac{5}{2}~dans le repere (O,\vec{i},\vec{j})~ contenant la courbe (C)
La solution de l’inéquation f(x)<0 est l’intervalle ou la réunion d’intervalles contenant l’ensemble des points de la courbe (C) situé en dessous de la droite d’équation y=0
Les solutions d’équations sont les abscisses des points d’intersection des droites d’équation
y=-6;~y=2 ~et~ y=\dfrac{5}{2} avec la courbe (C).
Voir donc figure ci-dessous :

Graphiquement, f(x)<0 a pour solution :
S=]-\infty;-1[\cup]3 ;+\infty[;
f(x)=-6 ~a pour solution S= \lbrace {-3;5} \rbrace;
f(x)=2 a pour solution S=\lbrace {1} \rbrace
et f(x)=\dfrac{5}{2} a pour solution S=\varnothing car aucun point d’intersection de la droite d’équation y=\dfrac{5}{2} avec la courbe ~(C).

Exercice 2

Soit f(x)=x^3+3x
1) Montrons que f est impaire
D_f=\Psi~ \\ \forall ~~x \in D_f, -x \in D_f~
et~f(-x)=(-x)^3+3(-x)=-f(x)~donc f est impaire.
On peut dire que la courbe de f admet l’origine du repère comme centre de symétrie.

2) Détermination de la dérivée de f.
\forall ~~x \in D_f;~ f est dérivable et sa fonction dérivée est :
f'(x)=3x^2+3
Sens de variations de f.
f'(x) \geq 0 \Harr 3x^2+3 \geq 0~
or~\forall ~~x \in \Psi;~3x^2+3>0~donc~ f'(x)>0~par conséquent f est strictement croissante sur \Psi.

3)Calcul des limites

4) Equation de tangente
(T):y=f'(0)(x-0)+f(0)~
avec~f'(0)=3~et~f(0)=0~
d’où~(T):y=3x

5) Construction de (C) et (T).

Exercice 3

Soit f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}

1) Ensemble de définition E de f.
f(x) existe si et seulement si x+1\not= 0 c’est-à-dire si x \not= -1
E= ]-\infty;-1[\cup ]-1;+\infty[

2)a) Montrons que pour tout élément x de E;~ \\ f(x)=2-\dfrac{3}{x+1}

b) Calcul de limites

donc la droite d’équation y=2 est asymptote horizontale à (C).

donc la droite d’équation x=-1 est asymptote verticale à (C)
c) Point d’intersection des asymptotes
Soit B(x,y) ce point.
On a x=-1 et y=2 d’où B(-1,2)

3) Déterminons la dérivée f’ de f
Pour tout x \in D_f;~f est dérivable
et f'(x)=\dfrac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{3}{(x+1)^2}

Sens de variations de f.
f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{3}{(x+1)^2} \geq 0~

or~\forall ~~x \in D_f; \\ \dfrac{3}{(x+1)^2}>0~donc~f'(x)>0~et par conséquent, f est croissante sur D_f

Tableau de variations

4) coordonnée des points d’intersection de (C) avec les axes.
Avec l’axe des abscisses
Soit I(x,y) ce point.
L’axe des abscisses a pour équation y=0~donc~I(x;0)
Pour trouver x on resout l’équation f(x)=0;~ \\ f(x)=0 \Harr \dfrac{2x-1}{x+1}=0 \Harr x = \dfrac{1}{2}
d’où~I(\dfrac{1}{2};0)
Avec l’axe des ordonnées
Soit K(x;y)
L’axe des ordonnées a pour équation x=0~donc K(0;y)~
Pour déterminer y on calcule f(0)
f(0)=\dfrac{2\times 0-1 }{0+1}=-1~d’où~K(0;-1)

5)Equation de la tangente (\Delta)
(\Delta):y=f'(\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{2})`

avec f'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{4}{3}~et~f(\dfrac{1}{2})=0

D’où (\Delta):y=\dfrac{4}{3}x-\dfrac{2}{3}

6)Construction de (C) des asymptotes et de (\Delta).