3 : Etude des fonctions numériques – Tle L

I. Rappels : Elément de symétrie d’une courbe

• Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction paire admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
• Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction impaire admet l’origine du repère comme centre de symétrie.

Remarques

La courbe représentative d’une fonction f qui n’est ni paire ni impaire peut admette un axe ou un centre de symétrie . Pour déterminer l’un ou l’autre des éléments de symétrie, il est parfois nécessaire d’effectuer un changement de repère de sorte que l’équation de la courbe de f dans ce nouveau repère soit de la forme y=g(x) ou g est une fonction paire ou impaire.

Cas particuliers

• Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction polynôme f de degré 2 admet la droite d’équation y=x_0 où x_0 est le réel tel que f’(x_0)=0 comme axe de symétrie.
• Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction polynôme f de degré 3 admet le point  d’abscisse x_0 telle que f(x) + f(2x_0-x) = 0 comme centre de symétrie.

II. Plan d’étude d’une fonction

L’étude d’une fonction s’effectue suivant le plan ci-dessous :

1. On détermine lorsqu’il n’est pas explicitement donné, l’ensemble de définition de la fonction
2. On étudie éventuellement la parité de la fonction et on en déduit les éléments de symétrie (centre de symétrie, axe de symétrie) de la courbe
3. On calcule les limites de la fonction aux bornes des intervalles de son ensemble de définition
4. On détermine la fonction dérivée de la fonction ; on étudie le signe de cette fonction dérivée et en déduit le sens de variation de la fonction
5. On dresse le tableau de variation de la fonction
6. On précise les asymptotes éventuelles de la courbe
7. On construit soigneusement la courbe représentative de la fonction. A cet effet, on place si possible quelques points particuliers (extrema, intersection avec les axes de coordonnées …) et on trace les asymptotes et les tangentes horizontales éventuelles.

Exercices d’application

Soit f  une fonction numérique  définie par f(x)= \dfrac{-2x^2+8}{x^2+4}  et (C) sa courbe représentative  dans le repère (O; i; j)
1) Déterminer l’ensemble de définition de f
2) Etudier la parité de f. Quelle est la conséquence géométrique pour (C) ?
3) Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x ;~ f(x)= a+\dfrac{b}{x^2+4}
4) Etudier les variations de f.
5) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C)  avec les axes de coordonnées.
6) Donner une équation de la tangente (T) à ( C ) au point d’abscisse 2.

Corrigé

1) Ensemble de définition
f(x) existe si x^2+4 \ne 0  or \forall ~x \in \R ;~ x^2 +4 \ne 0 donc D_f = \R.

2) Etude de la parité
\forall ~x \in D_f ;~ -x \in D_f  et f(-x)= \dfrac{-2(-x)^2 +8}{(-x)^2 +4} = \dfrac{-2x^2 + 8}{x^2 + 4} = f(x) donc f est paire
Comme f est paire, alors ( C ) admet pour axe de symétrie l’axe des ordonnées.

3) Détermination de réels a et b
f(x) = a + \dfrac{b}{x^2 +4} = \dfrac{a(x^2+4)+b}{x^2+4} = \dfrac{ax^2 + 4a+b}{x^2+4}
Par identification a=-2 et 4a+b=8 soit b=8-4(-2) =16
D’où f(x) = -2 + \dfrac{16}{x^2+4}

4) Variations  de f
\forall ~x \in D_f ; ~f'(x) = \dfrac{-2x \times (16)}{(x^2 +4)^2} = \dfrac{-32x}{(x^2+4)^2}
Etudions le signe de f(x)
f ‘(x) \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-32x}{2(x^2 +4)} \geq 0  or \forall ~x \in \R ;~ (x^2+4)^2 >  0 donc le signe de f’(x) est celui de -32x.
-32x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 0 ce qui signifie que pour x \leq 0 ;~ f’(x) \geq 0 et pour x \geq 0 ;~ f’(x) \leq 0.
Ainsi sur ]-\infty ; 0] ; f’(x) \geq 0 donc f est croissante et sur [0 ; +\infty[ ; f’(x) \leq 0  donc f est décroissante.

5) Coordonnées des points d’intersection
-> Avec l’axe des abscisses
Soit A(x ;y) avec y=f(x) le point d’intersection de ( C ) avec l’axe des abscisses. En ce point A ; y=0=f(x) donc A(x ;0)
Pour trouver x, on résout l’équation f(x)=0
f(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{-2x^2+8}{x^2+4} = 0 \Leftrightarrow -2x^2 + 8 =0 \Leftrightarrow x=-2 ou x=2
Ainsi , (C) coupe l’axe des abscisses aux point A(-2 ; 0) et A’(2 ; 0)

-> Avec l’axe des ordonnées
Soit B(x ;y) avec y=f(x) le point d’intersection de (C ) avec l’axe des ordonnées. En ce point B ; x=0 donc B(0 ;y).
Pour trouver y, on calcule f(0).
f(0)=\dfrac{-2 \times 0 +8}{0+4} = 2  d’où B (0 ;2)
Ainsi (C ) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ;2)

6) Equation de la tangente (T) du point d’abscisse x=2
(T) :y= f’(2)(x-2)+f(2)
f’(2)=\dfrac{-32 \times 2}{[(2)^2 + 4]^2} = \dfrac{-64}{64} =-1  et f(2) = \dfrac{-2(2)^2 +8}{(2)^2+4} = 0 d’où (T) : -x+2

7) Construction
\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -2 ~;~~ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) =-2 donc la droite d’équation y=-2 asymptote horizontale à (C). f(0)=2.

Tableau de variation