Exercices – Etude des fonctions numériques – Tle L

Exercice 1

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par
f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{3}{2}.
1) Quelle est la nature de cette fonction ? Quel est son ensemble de définition ?
2) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition
3.a) Déterminer la fonction dérivée f’ de f.
b) Etudier le sens de variation de f sur son ensemble de définition puis dresser son tableau de variation. Que représente l’ordonnée du point d’abscisse -1 pour f ?
4) Déterminer une équation de la tangente (\Delta) à la courbe (C) de f au point d’abscisse 3.
5) Tracer (C) et (\Delta) dans le repère~(O,\vec{i},\vec{j}).
6) Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)<0 puis les équations
f(x)=-6 ;f(x)=2~et~f(x)=\dfrac{5}{2}.
7.a) Tracer la droite (D) d’équation y=-x-6
b) Résoudre graphiquement f(x)=-x-6~et~f(x)>-x-6
c) Vérifier algébriquement les résultats précédents.

Exercice 2

On désigne par f la fonction numérique définie de \R~vers~\R~par
~ f(x)=x^3+3x .
Soit (C) la courbe de f dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}).
1) Montrer que f est impaire. Quelle conséquence géométrique peut-on en déduire pour la courbe de f ?
2) Déterminer la fonction dérivée f’ de f et en déduire le sens de variation de f.
3) Calculer les limites de f(x) lorsque x tend vers -\infty et lorsque x tend vers -\infty
4) Donner l’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse nulle.
5) Construire soigneusement la courbe (C) et la tangente au point d’abscisse nulle.

Exercice 3

Soit f la fonction numérique définie par
f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}
On désigne par (C) la représentation graphique de f dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) .
1) Déterminer l’ensemble de définition E de f(on écrira E sous forme d’une réunion de deux intervalles).
2.a) Montrer que pour tout élément x de E,
f(x)=2-\dfrac{3}{x+1}
b) Calculer les limites de f aux bornes des intervalles de E. En déduire que (C) admet deux asymptotes dont on précisera la nature et l’équation. Quel est le point d’intersection O’ de ces asymptotes ?
3) Déterminer la fonction dérivée f’ de f.
En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
4) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec les axes de coordonnées.
5) Donner une équation de la tangente (\Delta)à (C) au point A d’abscisse \dfrac{1}{2}
6) Construire soigneusement la courbe (C), les deux asymptotes ainsi que les tangentes (\Delta).