4) Suites numériques - Tle S

I. Activité

Dans chacun des cas suivants, calculer les quatre premiers termes de la suite donnée:

1) La suite U définie par : $\forall~n \in~ \N ~;~U_n = 2n^2+n-1$
2) La suite V définie par : $\forall~n \geq 3~;~V_n = \ln (2n-4)$
3) La suite W définie par : $\begin{cases} W_0 = 2 \\ \forall~n \in~ \N ~;~W_{n+1} = 1W_n -3 \end{cases}$

II. Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de justifier qu’une proposition $P(n)$ dépendant d’un entier naturel $n$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ où $n_0$ est un entier naturel donné. Il se résume en deux étapes :
– Initialisation : vérifier que $P(n_0)$ est vraie.
– Hérédité : établir que pour tout entier $k$ donné, $k \geq n_0$ , si $P(k)$ est vraie alors $P(k + 1)$ est vraie.

Une fois que les deux étapes précédentes sont établies, on conclut que $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Exercice d’application : On considère la suite $U$ définie par :
$\begin{cases} U_0 = 2 \\ \forall~n \geq 0~;~U_{n+1} = 2U_n -3 \end{cases}$ ; démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n \geq 0~,~ U_n = 3 ~-~ 2^n.$

III. Sens de variation d’une suite numérique

1. Définition

Soit $(U_n)$ une suite définie sur une partie $E$ de $\N$
– $(U_n)$ est croissante si $U_{n+1} ≥ U_n$ pour tout $n$ de $E$ .
– $(U_n)$ est décroissante si $U_{n+1} ≤ U_n$ pour tout $n$ de $E$ .
– $(U_n)$ est constante si $U_{n+1} = U_n$ pour tout $n$ de $E$ .

2. Méthodes pratiques

Pour étudier le sens de variation d’une suite numérique $(U_n)$ , on pourra :

Etudier le signe de la différence $U_{n+1} - U_n$
Si la suite est à termes strictement positifs, comparer le quotient $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ et $1$ .
Etudier le sens de variation de la fonction $f$ si $(U_n)$ est définie par $U_n = f(n)$
Faire un raisonnement par récurrence.

IV. Suites majorées – Suites minorées

Définition

Soit $(U_n)$ une suite définie sur une partie $E$ de $\N$ .

$(U_n)$ est majorée s’il existe un nombre réel $M$ tel que $U_n \leq M$ pour tout $n$ de $E$ .
$(U_n)$ est minorée s’il existe un nombre réel m tel que $U_n \geq M$ pour tout $n$ de $E$ .
$(U_n)$ est bornée si $(U_n)$ est majorée et minorée.

Remarque

Soit $f$ une fonction de $\R$ vers $\R$ et $U$ une suite définie par $U_n = f(n)$ . Si $f$ est majorée (resp minorée) sur un intervalle contenant l’ensemble de définition de la suite $U$ alors $U$ est majorée (resp minorée).

Exercice d’amélioration

Soit la suite $V$ définie sur $\N^*$ par $V_n = \dfrac{3n^2 + n}{n^2+1}$ . Démontrer que $V$ est minorée par $2$ .

V. Limite d’une suite numérique

1. Notion de limite d’une suite

Pour certaines suites numériques $(U_n)$ tous les termes à partir d’un certain rang sont aussi proches que l’on veut d’un nombre réel $l$ . Dans ce cas on dit que la suite $(U_n)$ a pour limite $l$ et on écrit : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} U_n = l$ .
Pour certaines suites numériques $(U_n)$ tous les termes à partir d’un certain rang sont aussi grands que l’on veut. Dans ce cas on dit que la suite $(U_n)$ a pour limite $+ \infty$ et on écrit : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} U_n = +\infty$ .
On dit que la suite $(U_n)$ a pour limite $- \infty$ lorsque la suite $(-U_n)$ a pour limite $+ \infty$ et on écrit $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} U_n = -\infty$ .

2. Définition

Une suite numérique $(U_n)$ est convergente si elle admet une limite finie.
Une suite non convergente est dite divergente.

3. Propriétés

Si une suite numérique admet une limite alors cette limite est unique.
Soit $(U_n)$ la suite numérique de terme général $U_n = f(n),$ où $f$ est une fonction définie sur un intervalle de la forme $[a ~;~ +\infty [$ . Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(x) = l$ (réel ou infini) alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} U_n = l$

Exercice d’application

Etudier la convergence de chacune des suites (U_n), (V_n), (T_n).

$\forall~n \in~ \N^* ~;~U_n = 3n^2 - \dfrac{1}{n}$
$~ ~$
$\forall~n \in~ \N^* \setminus \lbrace 1 \rbrace ~;~V_n = \dfrac{3n^2-n}{1-n^2}$
$~ ~$
$\forall~n \in~ \N ~;~T = 3(-1)^n$

4. Convergence d’une série numérique

Une suite croissante et majorée est convergente
Une suite décroissante et minorée est convergente.

VI. Suites arithmétiques – Suites Géométriques

1. Rappels

2. Convergence d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique

Propriété 1

Soit $(U_n)$ une suite géométrique de raison $q$ . $(U_n)$ est de la forme $U_n = k \times q^n$

Si $q = 1$ , alors la suite $(U_n)$ converge vers son premier terme.
Si $q \in~ ]-1~;~ 1[$ , alors la suite $(U_n)$ converge vers 0.
Si $q=-1$ ; alors on ne peut pas dans ce cas conclure
Dans tous les autres cas, la suite $(U_n)$ est divergente

Propriété 2

Soit $(U_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ . $U_n$ est de la forme $U_n = b + rn$ .

Si $r = 0$ , alors la suite $(U_n)$ est convergente
Si $r \neq 0$ , alors la suite $(U_n)$ est divergente

Exercices

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