Exercices – Suites numériques – Tle S

Exercice 1

Soit la suite v définie par v_0=-\dfrac{1}{2}~ et ~ \forall ~n \in \N; v_{n+1}=\ln (3e^{v_n})

  1. Démontrer que v est une suite arithmétique et préciser la raison.
  2. (L_n) est la suite définie par : L_n=v_0+v_1+…v_n.~ Exprimer ~L_n~en fonction de n

Exercice 2

Soit la suite numérique u est définie par \forall ~n \in \N ; u_n= 3\dfrac{(-2)^{n-1}}{5^n}

  1. Montrer que u est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  2. u  est-elle convergente ? si oui ; déterminer sa limite

Exercice 3

Soit k la suite définie par : \forall ~~ n \in \N; k_n=\displaystyle{\int_{n}^{n+1}} 2e^{-2x{dx}}

1) Montrer que k est une suite géométrique dont on précisera la raison et le  premier terme.
2) (S_n): ~est la suite définie par ~: S_n=k_0+k_1+…+k_n 
a) Exprimer S_n~ en fonction de n
b) Calculer les limites des suites k et (S_n)

Exercice 4

On considère les suites u et v définies par : u_0=0; v_0=2~;
\forall ~n \in \N; u_{n+1}=\dfrac{1}{4}(1+3U_n)~et~\forall~ n \in \N; v_{n+1}=\dfrac{1}{4}(1+3v_n)
1) On pose \forall ~n \in \N; w_n=u_n+v_n
a) calculer w_0; w_1;w_2~et~w_3
b) Quelle conjecture peut-on faire de la question 1)a) ?
c) Démontrer par  récurrence que : \forall~ n \in \N; w_n=2.
2) On pose \forall ~n \in \N ; t_n=u_n+v_n
a) Démontrer que (t_n)~ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme t_0
b) Exprimer t_n ~ en fonction de n
c) En déduire u_n~et~v_n~en fonction de n.
3) Etudier la convergence des suites u et v.

Exercice 5

On considère les suites numériques (u_n)~et~(v_n)~définies par :
u_0=\dfrac{1}{3}; \forall~~ n \in \N; u_{n+1}=\dfrac{3}{2}(u_n)^2~ et ~v_n=\ln(\dfrac{3}{2}u_n).

  1. Calculer v_0.
  2. Démontrer que v est une suite géométrique de raison 2.
  3. Exprimer v_n~ en fonction de n.
  4. Calculer la limite de v.
  5. Exprimer u_n~en fonction de ~v_n~et en déduire la limite de u.
  6. On pose : \forall~~ n \in \N; s_n=v_0+v_1 +…+v_n~et~t_n = u_0 \times u_1 \times … \times u_n
    a. Démontrer que \forall~~ n \in \N; s_n=(1-2^{n+1})\ln 2
    b. Justifier que : \forall ~~n \in \N ; t_n =(\dfrac{2}{3})^{n+1}e ^{s_n}~
    c. Exprimer t_n~en fonction de n.

Exercice 6

u et v sont des suites définies par u_0=\dfrac{1}{2}; v_0=\dfrac{\sqrt3}{2}~
Et~ \forall ~~n \in \N; u_{n+1}=\dfrac{\sqrt3}{3}u_n-v_n~\\ v_{n+1}=u_n+\dfrac{\sqrt3}{3}v_n

On pose \forall~~ n \in \N ; z_n=u_n+iv_n
1) Calculer |z_0|
2) Exprimer |z_{n+1}|~en fonction de~|z_n|~puis en déduire~|z_n|~ en fonction de n.
3.a) Exprimer z_{n+1}~en fonction de~z_n
b) Trouver Arg (\dfrac{\sqrt3}{3}+i)
c) Déduire de ce qui précède un argument \theta_{n+1}~de~z_{n+1}~en fonction d’un argument~\theta_n ~de~z_n
d) Trouver [Arg(Z_0) puis l’expression de \theta_n en fonction de n.
4) Exprime u_n~et~v_n~en fonction de n.

Exercice 7

Soit I_n ~(n \in \N)~ la suite définie par :
I_n=\displaystyle{\int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}}\dfrac{\cos^n x}{\sin^2 x}dx

  1. Calculer I_0~et~I_1~
  2. Démontrer que la suite (I_n)~est positive et décroissante. Est-elle convergente ?
  3. a. Démontrer que pour tout x élément de l’intervalle [\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}]et tout entier naturel n non nul, on a :
    0 \leq \dfrac{\cos^nx}{\sin^2n} \leq 2 (\tfrac{\sqrt2}{2})^n
    b. En déduire la limite de la suite (I_n)

Exercice 8

On considère la suite (V_n)~(n \in \N^*) ~definie par :~V_n=\dfrac{e^n+2^n}{e^n-2^n}

1.a) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, V_n~est strictement positif.
b) Démontrer que la suite (V_n) ~(n \in \N^*)~est décroissante
c) Utiliser les résultats précédents pour montrer que la suite (V_n)~(n \in \N^*) est convergente.
2) Calculer la limite de la suite (V_n)~(n \in \N^*)
3) Déterminer le plus petit entier naturel n_0~ tel que : ~si~n>n_0, V_n<1,1
Données :   \ln 21=3,04~et~\ln 2=0,69

Exercice 9

A / On considère la suite (t_n) ~ définie sur ~\N ~par : ~t_0=2 ~et~ t_{n+1}=\dfrac{9}{6-t_n}

1) Démontrer par récurrence que pour tout n élément de \N, t_n <3.
2) Etudier le sens de variation de la suite (t_n)

B/ On considère la suite (u_n) ~ définie sur ~ \N ~ par ~(u_0=1~ et ~u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+2})

1) Démontrer que la suite (V_n) ~ définie sur ~ \N~ par ~ V_n=\dfrac{1}{u_n}~est une suite arithmétique.
2)Exprimer V_n~ puis ~u_n~ en fonction de ~n
3) Calculer S_n=V_0+V_1+…+V_n~ en fonction de n.
4) Etudier la convergence de la suite (u_n)

Exercice 10

On considère la fonction numérique u définie sur ]0;+\infty[ ~par :
u(x)=1-\ln x .
1) Etudier le signe de u(x).
2) Soit la fonction g définie sur ]0;+\infty[~par :
~g(x)=x(1-\ln x)
a) Déterminer g'(x).
b) En déduire une primitive U de u sur ]0; +\infty[~ qui s’annule en ~e^2
3) On considère la suite définie sur ….. par :
V_n= \displaystyle{\int_{e^{-n}}^{e^{-n+1}}}(1- \ln x)dx
a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : V_n \geq 0.
b) Calculer V_n~en fonction de n.
c) Déterminer la limite de V.
4) Pour tout entier naturel , on pose :
\sum_{~~~~\mathclap{k=0}}^{n} ~~V_k=V_0+V_1+…+V_n
a) Exprimer S_n~ en fonction de n.
b) Déterminer la limite de S_n.