5) Equations différentielles – Tle S

Activité

Soit la fonction f dérivable sur \R et définie par : f(x) = e^{-x}

1) Vérifier que pour tout réel x,~ f’(x) + 2f(x) = 0.
2) On considère la fonction g dérivable sur \R et définie par : g(x) = 3e^{-2x}. Vérifier que pour tout réel x,~ g’(x) + 2g(x) = 0.

On dit que f et g sont solutions de l’équation différentielle y’ + 2y = 0.

I. Définition

On appelle équation différentielle, une équation où l’inconnue est une fonction f de \R vers \R et dans laquelle apparaît au moins une des dérivées successives de f.

Exemples : y’ + 2y = x^2 est une équation différentielle du premier ordre et
 y’’ – 4y’ + 7y = 0 est une équation différentielle du second ordre.

Remarque : résoudre ou intégrer une équation différentielle, c’est déterminer toutes les fonctions solutions de cette équation.

II. Equations différentielles du type : y' - ay = 0 ~(a \in ~\R)

• La fonction nulle est solution de (E).
• Déterminons les solutions non nulles de (E).

On a : y ≠ 0,~ y’ – ay = 0 \Leftrightarrow y’ = ay \\ \Leftrightarrow \dfrac{y'}{y} = a \\ \Leftrightarrow  \ln |y| = ax + c ~;~ c \in ~~ \R \\ \Leftrightarrow  |y| = e^{ax + c} ~;~  c \in ~ \R \\ \Leftrightarrow y = e^{ax + c}  ou   y   = - e^c e^{ax}  \Leftrightarrow y =  Ke^{ax}  avec    K \in ~\R ^*.

Propriété

• Les solutions de l’équation différentielle y’ – ay = 0 sont les fonctions x \mapsto Ke^{ax} avec K \in ~\R.
• Il existe une unique solution de cette équation différentielle vérifiant la condition initiale y(x_0) = y_0 (x_0 et y_0 sont des réels donnés).

Exercice d’application

1) Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y’ – 2y = 0
b) y’ + 3y = 0
2) Dans chacun des cas suivants, déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale donnée :
a) (E) : y’ – 4y = 0 et f(0) = 3
b) (E) : y’ +\sqrt2 y = 0 ; la courbe représentative de f dans un repère orthonormé admet au point d’abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 1.

III. Equations différentielles du type :  y’’ + ω²y = 0

Activité : Vérifier que v(x) = A \cos(\omega x) + B \sin( ωx) (A et B deux réels) est solution de l’équation différentielle y’’ + ω ^2y = 0 .

Propriété : Les solutions de l’équation différentielle y’’ + ω^2 y = 0 (ω Є \R*) sont les fonctions définies sur \R par : y(x) = A \cos (ωx) + B \sin (ωx) (A et B deux réels)

IV. Equations différentielles de type :  ay’’ + by’ +cy= 0

Equation caractéristique

Définition

On appelle équation caractéristique de l’équation différentielle ay’’ + by’ +cy= 0 (a et b réels)
L’équation d’inconnue r : ar^2 + br + c = 0

Théorème