Exercices – Equations différentielles – Tle S

Exercice 1

Résoudre dans \R~ les équations différentielles suivantes :

  1. ~ y”+3y=0
  2. ~y”-4y=0~
  3. ~ 4y”+y=0~

Exercice 2

  1. Résoudre l’équation différentielle suivante :(E): f’ – \tfrac{3}{2}f=0
  2. Déterminer la solution de (E) qui prend la valeur 3 en 0.

Exercice 3

1) Soit (E) l’équation différentielle suivante : 2y’ + 3y =0.
Déterminer toutes les solutions de (E).
2) Soit (E’) l’équation différentielle suivante : 2y’+3y= x^2+1.
a) Déterminer la fonction polynôme f du second degré solution de (E’).
b) Montrer que g solutions de (E’) si et seulement si g – f est solution de (E)
c) Déterminer toutes les solutions de (E’).

Exercice 4

Partie A

On considère l’équation différentielle :
(E): f'(x)-2f(x)=2(e^{2x}-1)
1) Soit  la fonction définie par h(x)=2xe^{2x}+1
Démontrer que  est solution de (E)
2) Résoudre (F): f’-2f=0~
3.a) Montrer que g est solution de (E) si et seulement si g-h est solution de (F)
b) Déterminer toutes les solutions de (E)
c) Déterminer la solution \varphi ~de~(E)~vérifiant~\varphi (0)=0

Partie B

On considère la fonction f définie de \R ~vers ~\R~ par :
~f(x)=(2x-1)e^{2x}+1
1.a) Déterminer \lim\limits_{\substack{x \rightarrow -\infty}} f(x)
b) Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2.a) Déterminer \lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} f(x)~et~ \lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} \dfrac{f(x)}{x} ~
b) Interpréter graphiquement le résultat obtenu
3) Etudier la variation de f puis dresser son tableau de variation
4) Démontrer que \forall ~x \in \R~, f(x) \geq 0
5) Construire (C_f)~dans un repère orthonormé (O,I,J) (unité 2cm)

Partie C

1) Résoudre dans \R~ l’inéquation 1-f(x) \geq 0
2) On considère l’intégrale I=\displaystyle{\int_{0}^{\tfrac{1}{2}}} (1-f(x)) dx~
a) Interpréter graphiquement  I puis calculer I
b) Calculer l’aire A de la partie du plan délimitée par la courbe de a droite d’équation y=1, droite (OJ) et la droite d’équation x=\dfrac{1}{2}

Exercice 5

On se propose de déterminer les fonctions dérivables solutions de l’équation différentielle :
2y’+y=x^2+2x-2 ~ (E)

1) Montrer qu’il existe une fonction polynôme g du second degré solution de (E) et déterminer laquelle.
2) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f – g est solution de l’équation différentielle :
2y’+y= 0~(E’)
3) Résoudre (E’) et en déduire toutes les solutions de (E).
4) Déterminer les solutions dont la représentation graphique passe par l’origine du repère.

Exercice 6

Soit l’équation différentielle (E) : ~y’+y=x-1

1) A l’aide d’une intégration par parties,
calculer \displaystyle{\int_{1}^{x}} e^{t}(t-1)dt.
2) Soit z une fonction dérivable sur \R,~
On pose f(x)=z(x)e^{-x}.~Montrer que f est solution de (E) si, et seulement si, pour tout x réel, z'(x)=e^x(x-1)
3) A l’aide de la première question, déterminer toutes les fonctions z vérifiant
z'(x)=e^x(x-1)
4) Déduire de la question précédente les solutions de (E). Déterminer la solution  pour laquelle l’image de 1 est 0.

Exercice 7

1) Restitution organisée des connaissances
Prérequis : on sait que les solutions de l’équation différentielle y’=ay~sont les fonctions de la forme f(x)= Ce^{ax}~C est une constante réelle.
a) Déterminer les solutions de l’équation différentielle y’=ay+b~
b) En faisant un changement de variable de la forme y= \varphi (Y)~dans l’équation précédente on obtient l’équation
Y’=2aY+2b\sqrt Y.~
Quelle est la fonction \varphi ~à votre avis ?

2) Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle (1) :~y’+y=2e^{x}~dans laquelle y désigne une fonction inconnue de la variable réelle x, dérivable sur l’ensemble \R~ des nombres réels.
a) Résoudre l’équation différentielle (2) : y’+y=0
b) On considère l’équation différentielle (1)~;~y’+y=2e^{x}~ , dans laquelle y désigne une fonction inconnue de la variable réelle x, dérivable sur l’ensemble \R des nombres réels.
Soit la fonction h définie sur \R~par~h(x)=(\alpha x+ \beta)e^{-x}.~Trouver les valeurs de~\alpha ~et~\beta ~ telles que h soit solution de l’équation (1).

3) On admet que toute solution de (1) s’écrit sous la forme g + h,g désigne une solution de l’équation (2).
a) Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (1).
b) Déterminer la solution f de l’équation (1) vérifiant la condition initiale f (0)=−1.
c) Quelle est la limite de f lorsque x tend vers +\infty~? vers ~-\infty~? Dresser le tableau de variation de f.

Exercice 8

1) Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances.
On suppose connu le résultat suivant : La fonction x \mapsto e^x~est l’unique fonction \varphi ~dérivable sur ~\R~telle que :
\varphi’ =\varphi, ~et~\varphi (0)=1
Soit a un réel donné.
a) Montrer que la fonction f définie sur \R~par~f(x)=e^{ax}~est solution de l’équation y’=ay
b) Soit g une solution de l’équation y’=ay Soit h la fonction définie sur \R~par :
~h(x)=g(x)e^{ax}
Montrer que h est une fonction constante.
c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation y’=ay

2) On considère l’équation différentielle :
(E)~:~y’=2y+ \cos x
a) Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f_0 définie sur \R~par :
f_0=a\cos x +b \sin x soit une solution f_0 de (E).
b) Résoudre l’équation différentielle (E_0)~:~y’=2y
c) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f-f_0~ est solution de (E_0).
d) En déduire les solutions de (E).
e) Déterminer la solution k de (E) vérifiant k (\dfrac{\pi}{2})=0

Exercice 9

1) Résoudre dans \R~ l’équation différentielle (E): y’’ + 2y’ +5y = 0.
2) Déterminer la solution f qui vérifie : f(0) = 1 et f’(0) = -1.
3) On pose F(x) = \dfrac{1}{5}[f'(x)+2f(x)]
a) Démontrer que F est une primitive de f sur \R; ~expliciter F(x).
b) En déduire le calcul de \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(x) dx

Exercice 10

La population de la ville de Mathville était de 14 milles habitants en 2003 et 33 milles habitants en 2006. On désigne par h(t) le nombre de milliers d’habitants à l’instant t. On suppose que h(t)  est solution de l’équation différentielle : h(t)=a h(t) (a est une constante réelle)

1.a) Déterminer h(t) en fonction de a.
b) Déterminer la constante a
c) Montrer que h(t)=14e^{a(t-2003)}

2.a) Quelle serait dans ces conditions la population de Mathville en 2017 ?
b) Dans ces conditions , en quelle année la population de Mathville  atteindra 2000 000 ?
On donne : \ln (\dfrac{33}{14})=0,87~;~~ e^{4,06}=58 ; \\ \ln (\dfrac{2000}{14})=4,96