Corrigés – Courbes paramétrées – Tle S

Exercice 1

\begin{cases} x(t)= \cos t \\ y(t)=\dfrac{\sin^2 t}{2+ \sin t} \end{cases}~;~~ t \in \R

1) La fonction t \rightarrow x(t)= \cos t ~ est périodique de période ~2\pi ~et~\forall ~t \in \R ,~on a y(t+2\pi)=y(t)~la période commune des fonctions x et y est donc 2\pi

2) \forall ~t \in \R, x(\pi-t)=\cos(\pi-t) \\ = – \cos t =-x(t)

y(\pi-t)=\dfrac{\sin ^2(\pi-t)}{2+\sin (\pi-t)}=\dfrac{\sin^2t}{2+ \sin t}=y(t)~
On en déduit que les points M (\pi-t) et M(t) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

3) Les fonctions x et y étant périodiques de période commune égale à  2\pi, on peut donc réduire l’intervalle d’étude  à un intervalle d’amplitude  2\pi~ .
De plus x(\pi-t)=-x(t)~et~y(\pi-t)=y(t) donc les points M (\pi-t) et M(t) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées ; ainsi on peut étudier la courbe sur [\dfrac{-\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}]~ et tracer ensuite le symétrique de la courbe appartenant à [\dfrac{-\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}]~ par rapport à l’axe des ordonnées dans l’intervalle [\dfrac{-\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}]~
On obtient ainsi la courbe entière sur [\dfrac{-\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}]~
Conclusion : On choisit d’étudier la courbe sur I= [\dfrac{-\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}]~

4) Variations de x et de y
\forall ~t \in I, x~ et ~ y~ sont dérivables et ont respectivement pour fonctions dérivées :
x’(t)=-\sin t et y'(t)=\dfrac{\sin t. \cos t(4+ \sin t)}{(2+ \sin t)^2}

\forall ~t \in [\dfrac{-\pi}{2};0] ;x'(t)\geq 0~ et

~\forall ~t \in [0;\dfrac{\pi}{2}]; x'(t)\leq 0

Ainsi, ~\forall ~t \in [\dfrac{-\pi}{2};0], ~x~ est croissante et \forall ~t \in [0;\dfrac{\pi}{2}], \\ x~ est decroissante \forall ~t \in [\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}](2\sin t)^2>0 ; \\ (4+ \sin t)>0~et ~\cos t \geq 0

Rappel : \forall ~t \in \R ~\\ -1 \leq \sin t \leq 1 \implies 3 \leq 4+ \sin t \leq 5~
donc le signe de y’(t) est celui de \sin t

\forall ~t \in [\dfrac{-\pi}{2};0] ~;~y'(t)\leq 0 ~

et ~ \forall ~t \in [0; \dfrac{\pi}{2}] ~;~y'(t)\geq 0

Ainsi ,~\forall ~t \in [\dfrac{-\pi}{2};0 ], ~y~ est décroissante et ~\forall ~t \in [0;\dfrac{\pi}{2}]~,~y est croissante.

5) Tableau conjoint de variations

6) Les points de paramètres \dfrac{-\pi}{2}~et~ \dfrac{-\pi}{2}~sont respectivement les points de coordonnées (0;1) et (0;\dfrac{1}{3}).

7) Construisons la courbe


Exercice 2

\begin{cases}x(t)=(t+1)e^t \\ y(t)=t^2e^{-t}\end{cases} ~;~~t \in \R

1) \forall ~t \in \R, x'(t)=-te^{-t}~et~y(t)=t(2-t)e^{-t}

2) Construction

Exercice 3

\begin{cases} x(t)=\cos 3t \\ y(t)=\sin 2t \end{cases} ;~~~t \in \R

1) \forall ~t \in \R,x(t+2\pi)=\cos (3t+6\pi) =\cos(3t) \\ \forall ~t \in \R,x(t+2\pi)=x(t)~
De même, \forall ~t \in \R,y(t+2\pi)=y(t). On en déduit que les fonctions x et y ont pour période commune 2\pi. la courbe entière est obtenue en faisant varier t dans un intervalle d’amplitude 2\pi.
\forall ~t \in \R,x(-t)=\cos (-3t)=\cos 3t=x(t) \implies x~est paire
\forall ~t \in \R,x(-t)=\sin (-2t)=-\sin(2t)=-y(t) \implies y~ est impaire

Les points M(t) et M(-t) sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
\forall ~t \in \R,
x(t+\pi)= \cos (3t+3\pi)=\cos 3t =-x(t)
y(t+\pi)=\sin(2t+2\pi)=\sin 2t=-y(t)

On en déduit que les points M(t)~et~ M(t+\pi) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Réduction de l’intervalle d’étude.
Il suffit d’étudier la courbe sur [0;\dfrac{\pi}{2}] et déduire la portion correspondante à [-\dfrac{\pi}{2};0]
Par symétriques par rapport à l’axe des abscisses. On obtient ainsi la courbe sur [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]
\forall ~~t \in [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}],~et~t+\pi \in [\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}].~ La portion de la courbe correspondant à [\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}] ~ sera donc déduite par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées les points M(t) et M(t+\pi) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
La courbe ainsi obtenue sur [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}]~ est la courbe entière puisque [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}]~est l’intervalle d’amplitude 2\pi.

2) \forall ~t \in [0;\dfrac{\pi}{2}], x'(t)=-3\sin 3t~et
~y'(t)=2\cos 2t.x'(t) \leq 0 \Rightarrow 3\sin t \geq 0 \\ \implies 0 \leq 3t \leq \pi \Rightarrow t \in [0;\dfrac{\pi}{3}]

Sur [0;\dfrac{\pi}{3}],x(t) \leq 0 \Rightarrow x ~ est décroissante sur ~[0;\dfrac{\pi}{3}]

Sur [\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}],x(t) \geq 0 \Rightarrow x ~ est croissante sur ~[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}]

Sur [0;\dfrac{\pi}{4}],y(t) \leq 0 \Rightarrow y~ est décroissante sur ~[0;\dfrac{\pi}{4}]

Sur [\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}],y'(t) \leq 0 \Rightarrow y~ est décroissante sur ~[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}]

Tableau des variations conjointes

3) Construction

Exercice 4

1) Comparons les points M(-t) et M(t).
x(-t)=1+2\cos(-t)=1+ 2\cos t=x(t)~
et ~y(-t)=tan(-t)+2\sin(-t) \\ =-\tan(t)-2\sin t=-y(t)~donc la courbe ( C) admet l’axe des abscisses comme axe de symétrie.

2) Variations de x et y.
x et y sont dérivables et ont pour fonctions dérivées respectives x'(t)=-2\sin t~et ~y'(t)=(1+\tan^2 t)+2\cos t
\forall ~t \in [0;\dfrac{\pi}{2}[;x'(t) \leq 0~et ~y'(t) \geq 0~ donc ~\forall ~t \in [0;\dfrac{\pi}{2}[; x~est décroissante et y est croissante.

Tableau conjoint de variations

Exercice 5

On a x^2+y^2=(\dfrac{1-t^2}{1+t^2})^2+(\dfrac{-2t}{1+t^2})^2

= \dfrac{1-2t^2+t^4+4t^2}{(1+t^2)^2}=\dfrac{1+2t^2+t^4}{(1+t^2)^2}=\dfrac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2}=1

Ainsi x^2+y^2=1~ donc ( C ) est incluse dans un cercle de centre O et le rayon 1.
De plus x et y sont dérivable et
x'(t)=\dfrac{-2t(1+t^2)-2t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}=\dfrac{-4t}{(1+t^2)^2}~ et

~y'(t)=\dfrac{-2(1+t^2)-2t(-2t)}{(1+t^2)^2}=\dfrac{-2+2t^2}{(1+t^2)^2}

\forall ~t\in [0;+\infty[;x'(t) \leq 0~ donc ~x~ est decroissante sur ~[0;+\infty[~
\forall ~t \in [0;1];y'(t)\leq 0~ donc ~y~ est decroissante sur ~[0;1]~
\forall ~t \in [1;+\infty[;y'(t) \geq 0~ donc ~y~ est croissante sur ~[1;+\infty[

Tableau conjoint de variations

D’après le tableau de variation conjoint on a :
\forall ~t \in [0;+\infty[;-1<x(t) \leq 1~ et ~-1 \leq y(t)\leq 0
On conclut que ( C ) est un demi-cercle de centre 0 et de rayon 1.(voir figure ci-dessous)