6) Courbes paramétrées – Tle S
I. Définitions
1. Notion de courbe Paramétrée
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}). Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I. L’ensemble des points M(x~;~y) vérifiant : \begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}, t \in I est une courbe plane paramétrée de paramètre t.
Remarque :
1) On désigne souvent par x(t) et y(t) les coordonnées et par M(t) le point de paramètre t. On dit alors que M(t) est un point mobile.
2) La courbe (C) décrite s’appelle en cinématique la trajectoire du mouvement.
3) Toute courbe d’équation cartésienne y=f(x),~x \in I peut être considérée comme une courbe paramétrée ; pour cela il suffit de poser \begin{cases} x=t \\ y=f(t) \end{cases}, ~t \in I
Exemple : (C) : y= \ln x,~x \in~]0~;~+\infty[
(C) : \begin{cases} x=t \\ y=\ln t \end{cases}~;~t \in~]0~;~+\infty[
2. Equation cartésienne
Soit (C) une courbe plane paramétrée de paramètre t et dont le système d’équation est :
(C) : \begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}, t \in I ; s’il existe une relation liant x et y et caractérisant l’appartenance du point M(x~;~y) à la courbe de (C) alors cette relation est une équation cartésienne de (C)
Exemple :
(C_1) : \begin{cases} x=3 \cos t \\ y=1 - 3\sin t \end{cases}~;~t \in~\R
(C_2) : \begin{cases} x= \sin t \\ y=\cos 2 t \end{cases}~;~t \in~\R
II. Vecteur dérivé
1. Définition
Soit (C) une courbe paramétrée d’équation \begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}, t \in I
Si f et g sont dérivables sur I alors le vecteur \overrightarrow{v(t)} = f'(t) \overrightarrow{i} + g'(t) \overrightarrow{j} s’appelle vecteur dérivé au point M(t) ; le vecteur dérivé se note aussi \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}
Exemple :
(C) : \begin{cases} x(t)= \sin t \\ y(t)=\cos 2 t \end{cases}~;~t \in~\R
\begin{cases} x'(t)= \cos t \\ y'(t)= -2 \sin 2t \end{cases} ; M(\frac{\pi}{4}) \dbinom{\frac{\sqrt2}{2}}{0} ; \overrightarrow{V}(\frac{\pi}{4}) \dbinom{\frac{\sqrt2}{2}}{-2}
\overrightarrow{V}(\frac{\pi}{4}) est le vecteur dérivé au point M(\frac{\pi}{4})
2. Notion de tangente
Soit t_0 \in I. Si f et g sont dérivables en t_0 et si le vecteur dérivé \overrightarrow{V}(t_0) est non nul alors la droite passant le point M(t_0) et de vecteur directeur \overrightarrow{V}(t_0) est la tangente à la courbe (C) au point M(t_0).
Remarque :
On peut remplacer un vecteur dérivé par un vecteur non nul et de même sens. Un tel vecteur est appelé vecteur tangent.
Exemple : Soit (C) : \begin{cases} x=3 \cos t \\ y= 3\sin t \end{cases}. Déterminer M(0) et \overrightarrow{V(0)} M(\frac{\pi}{4}) et \overrightarrow{V}(\frac{\pi}{4})
Le vecteur dérivé s’il n’est pas nul indique le sens du mouvement.
III. Symétrie
1. Activité
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}). On considère la courbe paramétrée (C) définie par :
(C) : \begin{cases} x= t^2 \\ y= t^3 \end{cases}~;~t \in~\R
1) Dans quel demi- plan la courbe (C) est-elle incluse ?
2) Que peut–on dire des points M(t) et M(-t) ? Que conclure pour cette courbe ?
3) En déduire qu’il suffit de connaitre la partie (C') de (C) pour t \geq 0 pour pouvoir tracer (C) entièrement.
4) Donner une équation cartésienne de (C) pour t \geq 0 puis construire (C).
2) Synthèse
Dans un repère orthonormé (O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}), on considère la courbe paramétrée (C) définie par :
\begin{cases} x= x(t) \\ y= y(t) \end{cases}~;~t \in I
IV. Exemple d’études d’une courbe paramétrée
1. Exemple 1
On se propose d’étudier la courbe paramétrée définie par :
(C) : \begin{cases} x=3t^2 - 2 \\ y=3t - t^3 \end{cases}~;~t \in~]-2~;~2[
a) Symétrie
Comparer les points M(t) et M(-t). Que conclure pour cette courbe ?
b) Variations de x et y
Etudier les variations de x et y sur l’intervalle [0 ; 2]. Dresser un tableau de variation conjoint de x et y.
c) Tracé de la courbe
1ère étape :
On place les points correspondant aux valeurs du paramètre apparaissant dans le tableau de variation . Il s’agit de placer M(0) ; M(1) et M(2)
M(0) \dbinom{-2}{0} ; M(1) \dbinom{1}{2} ; M(2) \dbinom{10}{-2}
2ème étape :
En chacun de ces points on trace le vecteur dérivé : \overrightarrow{V}(0) \dbinom{0}{3} ; \overrightarrow{V}(1) \dbinom{6}{0} ; \overrightarrow{V}(2) \dbinom{12}{-9}
3ème étape :
On trace la courbe (C) sur les intervalles où x et y sont monotones toutes les deux. Il s’agit des intervalles [0 ; 1] et [1 ; 2]. On complète par la symétrie par rapport à l’axe (Ox).
Remarque :
Pour t = \sqrt3 ou t = - \sqrt3 on a M (\sqrt3) ; M (- \sqrt3) qui coïncident. Le point de coordonnées (7 ; 0) est appelé point double car il est obtenu pour deux valeurs différentes du paramètre t.
Courbe
2. Exemple 2
Soit la courbe paramétrée définie par :
\begin{cases} x=\sin 2t \\ y=\sin 3t \end{cases} ; avec t \in~\R.
x et y ont 2π pour période commune ; ainsi M(t + 2π) = M(t) ;
M(-t) et M(t) sont symétriques par rapport à O ;
x(t + π) = x(t) et y(t + π) = - y(t), donc M(t) et M(t + π) sont symétriques par rapport à (Ox).
Il suffit d’étudier la courbe sur \lbrack 0 ~;~\dfrac{\pi}{2} \rbrack, d’effectuer une symétrie par rapport à O puis une symétrie par rapport à (Ox) pour avoir toute la courbe.
On a x’(t) = 2 \cos 2t et y’(t) = 3\cos 3t et on remarque que la courbe est contenu dans un carré dont les côtés ont pour longueur 2 et sont parallèles aux axes. Le tableau de variation est le suivant :
3. Synthèse
Soit (C) la courbe plane définie par :
\begin{cases} x= x(t) \\ y= y(t) \end{cases}~;~t \in I
Si x et y sont dérivables sur le domaine d’étude, on détermine les variations de x et y à l’aide de x' et y'. Pour tracer la courbe (C) on place les points particuliers (intersection avec les axes, point ayant une tangente horizontale, une tangente verticale …). On relie ces points en utilisant le tableau de variation après avoir tracé le vecteur dérivé en chacun de ces points. On peut étudier la parité et la périodicité de x et y afin de déterminer d’éventuels éléments de symétrie. On réduit alors le domaine d’étude. Parfois on utilise d’autres propriétés des fonctions x et y pour la recherche des éléments de symétrie (voir selon l’énoncé).