Exercices – Courbes paramétrées – Tle S

Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O, I, J). On considère la courbe à (C) définie para métriquement par :
\begin{cases} x(t)= \cos t \\ y(t)=\dfrac{\sin^2 t}{2+ \sin t} \end{cases}~,~~ t \in \R

1. Donne la période commune des fonctions x et y
2. Comparer en justifiant les points M (\pi-t) et M(t).
3. Déduire des questions 1et 2 qu’on peut  réduire l’intervalle d’étude à l’intervalle :
   I= [-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}]
4. Etudier les variations des fonctions x et y sur I.
5. Dresser le tableau des variations conjointes de x et y sur  I.
6. Ecrire les coordonnées des vecteurs directeurs des tangentes à (C) aux points de paramètres -\dfrac{\pi}{2}~et~\dfrac{\pi}{2}.
7. Représenter la courbe (C).

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O, I, J).
Soit la courbe (C) d’équation paramétrique
\begin{cases} x(t)=(t+1)e^{-t} \\ y(t)=t^2 e^{-t} \end{cases} ~,~~t \in \R

1. Etudier les variations des fonctions coordonnées de x et y sur \R
2. Dresser le tableau des variations conjointes de x et y sur \R
3. Représenter la courbe (C).

Exercice 3

Soit (O, \vec{i},\vec{j}) ~ un repère orthonormal. On se propose de déterminer la trajectoire (C) d’un point mobile M dont les coordonnées sont données, en fonction du temps, par :
\begin{cases} x(t) = \cos 3t \\ y(t)=\sin 2t \end{cases} ~,~~t \in \R

1. Pour tout réel t, comparer la position des points M(t) et M(t+2π), puis M(t) et M (-t) et enfin de M (t) et M(t+π). En déduire qu’il suffit de faire l’étude pour t \in [0~;~\dfrac{\pi}{2}] et de construire la partie de la courbe (C) correspondant. Indiquer les éléments de symétrie de la courbe (C).
2. Etudier les variations des fonctions x et y sur [0~;~\dfrac{\pi}{2}]
3. Tracer la courbe (C)

Exercice 4

Soit ( C ) la courbe dont une représentation paramétrique est
\begin{cases} x(t)=1 + 2\cos t \\ y(t)=\tan t+2 \sin t \end{cases} ~;~ t \in ]\dfrac{-\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} [

1. Comparer les points M(-t) et M(t). Quelle propriété en-déduisez-vous pour la courbe (C ) ?
2. Etudier les variations des fonctions x et y sur [0;\dfrac{\pi}{2}[
3. Tracer la courbe (C )

Exercice 5

Soit  ( C ) la courbe dont une représentation paramétrique est :
\begin{cases} x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2} \\ \\ y= \dfrac{-2t}{1+t^2} \end{cases} ~;~~ t \in [0;+\infty[

Montrer que ( C ) est un demi-cercle dont on précisera le centre et le rayon.