8) Géométrie dans l’espace - Tle S

I. Produit scalaire dans l’espace

$\varepsilon$ désigne l’ensemble des points de l’espace et $V$ l’ensemble des vecteurs associés à $\varepsilon$ .

1. Définition

On appelle produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de $V$ le nombre réel, noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ défini par :
$\begin{cases} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0 ~ \text{si} ~ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} ~\text{ou}~ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}|| \cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})~ \text{si} ~ \overrightarrow{u} \ne \overrightarrow{0} ~ \text{et} ~ \overrightarrow{v} \ne \overrightarrow{0} \end{cases}$

Propriété : Pour tout triplet $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ d’éléments de $V$ et pour tout couple $(α , β)$ de nombres réels :
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$ et $(\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v}).\overrightarrow{w} = \alpha(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}) + \beta ( \overrightarrow{v}.\overrightarrow{w})$

2. Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de $V$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Remarque : Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de $V$ .

II. Repères orthogonaux directs de l’espace

1. Repères orthonormaux de l’espace

a. Définitions

Définition 1 : On appelle base orthonormale de $V$ , tout triplet $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de vecteurs tels que :
$||\overrightarrow{i}|| = ||\overrightarrow{j}|| = ||\overrightarrow{k}|| = 1$ et $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j} = \overrightarrow{j}.\overrightarrow{k} = \overrightarrow{k}.\overrightarrow{i} = 0$

Définition 2 : On appelle repère orthonormal de l’espace affine $\varepsilon$ tout quadruplet $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ où O est un point de $\varepsilon$ appelé origine et $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ une base orthonormale de $V$

b. Expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormale

Soit $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ une base orthonormale de $V$ , $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $(x,y,z)$ , $\overrightarrow{v}$ de coordonnées $(x',y',z')$ dans cette base.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz'$ et $||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

2. Orientation de l’espace

Soit $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ un repère orthonormal de l’espace $\varepsilon$ . En appliquant la « règle de l’observateur d’Ampère », deux situations se produisent :

Situation 1 : L’observateur placé sur [O $z$ ) regardant [O $x$ ) à [O $y$ ) sur sa gauche : le repère est direct

Situation 2 : L’observateur placé dans les mêmes conditions a [O $y$ ) sur sa droite : le repère est indirect.

Exemple : Soit $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ un repère orthonormal direct.
$- ~(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ , $(O,\overrightarrow{j},\overrightarrow{k},\overrightarrow{i})$ , $(O,\overrightarrow{k},\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ sont des repères directs.
$- ~(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{k},\overrightarrow{j})$ , $(O,\overrightarrow{k},\overrightarrow{j},\overrightarrow{i})$ , $(O,\overrightarrow{j},\overrightarrow{i},\overrightarrow{k})$ sont des repères indirects.

III. Produit vectoriel

1. Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non colinéaires de l’espace, on appelle produit vectoriel de $\overrightarrow{u}$ par $\overrightarrow{v}$ le vecteur noté $\overrightarrow{u} \land \overrightarrow{v}$ tel que :
$\overrightarrow{u} \land \overrightarrow{v}$ = $||\overrightarrow{u}|| . || \overrightarrow{v}|| \sin (\overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})\overrightarrow{k}$

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires, alors $\overrightarrow{u} \land \overrightarrow{v} = 0$

2. Propriétés

$\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ étant trois vecteurs de l’espace, on a :

$\overrightarrow{u} \land \overrightarrow{v} = 0$ équivaut à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{u}$
$(\alpha \overrightarrow{u}) \land \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \land (\alpha \overrightarrow{v}), ~\alpha \in \R$
$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \land \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \land \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \land \overrightarrow{w}$

3. Expression analytique du produit vectoriel

Soit $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ une base orthonormale directe de $V$ , $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(x ,y, z)$ et $(x’, y’, z’)$ alors :
$\overrightarrow{u} \land \overrightarrow{v} = (yz' - y'z)\overrightarrow{i} + (zx' - xz')\overrightarrow{j} + (xy' - x'y)\overrightarrow{k}$

Disposition pratique :
On pose $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ ; $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{u} \land \overrightarrow{v} = d_1\overrightarrow{i} - d_2\overrightarrow{j} + d_3\overrightarrow{k}$ avec $d_1 = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} = yz' - y'z$ ; $d_2 = \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix} = xz' - x'z$ et $d_3 = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - y'z$

Exercice d’application : Soit A(1,2,3) , B(0,1,-1) , C(-2,1,1). Calculer $\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}$

4. Produit vectoriel et calculs d’aires et de distances

a. Aire d’un triangle

Soit ABC un triangle. L’aire de ABC est donnée par la formule : $A = \dfrac{1}{2} ||\overrightarrow{BC} \land \overrightarrow{BA}||$

b. Aire d’un parallélogramme

Soit ABCD un parallélogramme. Son aire est $A = ||\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AD}||$

c. Distance d’un point M à une droite (D)

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur de la droite (D). Alors la distance de M à (D) est :
$d = \dfrac{||\overrightarrow{MA} \land \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||}$ avec A un point de (D).

d. Distance d’un point M à un plan (ABC)

La distance du point M au plan (ABC) est $\dfrac{||\overrightarrow{AM} . ( \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}||}{||\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}||}$ .

Exercices

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