Exercices – Géométrie dans l’espace – Tle S

Exercice 1

Soit (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})~ un repère orthonormal de l’espace. On considère les points A(2;~4;~1), B(0;~4;~−3), C(3;~1;~−3), D(1;~0;~−2), E(3;~2;~−1), I= (\dfrac{3}{5};~4;~-\dfrac{9}{5})
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.

1) Une équation du plan (ABC) est : 2x+2y−z−11= 0.
2) Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
3) Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
4) La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :
\begin{cases} x=-1+2t \\ y=-1+t \\ z=1-t \end{cases} (t \in \R)
5) Le point I est sur la droite (AB).

Exercice 2

Pour chaque question une seule réponse est exacte. Trouvez la.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})~on donne le point S(1;−2;0) et le plan P d’équation x+y-3z+4=0

1) Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire au plan P est :
A:\begin{cases} x=1+t \\ y=1-2t \\ z=-3\end{cases}~~~~ B: \begin{cases} x=2+t \\ y=-1+t \\ z=1-3t\end{cases}~ (t \in \R) \\

2) Les coordonnées du point d’intersection H de la droite D avec le plan P sont :
A : (−4;0;0) ~~B: (\dfrac{6}{5}:\dfrac{-9}{5};\dfrac{-3}{5})~ \\

C: (\dfrac{7}{9};\dfrac{-2}{3};\dfrac{1}{3})~ ~~ D: (\dfrac{8}{11};\dfrac{-25}{11};\dfrac{9}{11})

3) La distance du point S au plan P est égale à :
A: \dfrac{\sqrt11}{3};~B: \dfrac{3}{\sqrt11};~ C: \dfrac{9}{\sqrt11};~ D:\dfrac{9}{11}

4) On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale :
A : au point I(1;−5;0)
B : au cercle de centre H et de rayon r= 3\sqrt{\dfrac{10}{11}}~
C : au cercle de centre S et de rayon 2
D : au cercle de centre H et de rayon r= \dfrac{3\sqrt10}{11}~

Exercice 3

Répondre par « VRAI »ou« FAUX »,

On donne le cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et [CG]. Les éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre. Le candidat est appelé à juger chacune des dix affirmations suivantes.

On utilise à présente le repère orthonormal (A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AE})

Exercice 4

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})

Partie A
Cette partie constitue une restitution organisée de connaissances.
Soient a, b, c et d des réels tels que (a,b,c ){=}\mathllap{/\,} (0,0,0)~Soit P le plan d’équation ax+by+cz+d=0 .
On considère le point I de coordonnées (x_I, y_I, z_I)~ et le vecteur ~ \vec{n}~ de coordonnées (a,b,c).
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à:\dfrac{|ax_I+by_I+cz_I+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

1) Soit la droite passant par I et orthogonale au plan P. Déterminer en fonction de a, b, c, d, x_I, y_I et z_I~ un système d’équations paramétriques de \Delta .

2) On note H le point d’intersection de \Delta et P.
a) Justifier qu’il existe un réel k tel que \overrightarrow{IH}=k\vec{n}.
b) Déterminer l’expression de k en fonction de a, b, c, d, x_I, y_Iet~ z_I.
c) En déduire que IH= \dfrac{|ax_I+by_I+cz_I+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Partie B
Le plan Q d’équation x-y+z-11=0~est tangent à une sphère S de centre le point \Omega~ de coordonnées (1;-1;3)

1) Déterminer le rayon de la sphère S.
2) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite \Delta ~passant par ~\Omega~ et orthogonale au plan Q.
3) En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphère S et du plan Q.