I. Définitions et propriétés

1. Définition

Une isométrie  du plan est une transformation du plan qui conserve les distances, c’est-à-dire que : pour tous les points M et N du plan, si M’ et N’ désignent leurs images par une isométrie, on aura : MN = M’N’ .

2. Propriété

On peut démontrer que les isométries transforment respectivement

• un segment, en un segment
• une demi-droite en une demi-droite
• une droite en une droite
• un cercle en  un cercle.

On dit que les isométries conservent le parallélisme parce que les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
On dit qu’elles conservent la perpendicularité parce que les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
Plus généralement les isométries conservent les barycentres.

II. Composition d’isométries

1. Translation et composition de translation

Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan. La translation de vecteur \overrightarrow{u} , notée t_{\overrightarrow{u}}, est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' tel que \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}.
La réciproque de la translation de vecteur \overrightarrow{u} est la translation de vecteur - \overrightarrow{u}~:~ \\ (t_{\overrightarrow{u}})^{-1} = t_{- \overrightarrow{u}}

La composée de deux translations est une translation :
t_{\overrightarrow{u}} \circ t_{\overrightarrow{v}} = t_{\overrightarrow{v}} \circ t_{\overrightarrow{u}} = t_{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}}
La translation de vecteur \overrightarrow{0} est l’identité : t_{\overrightarrow{0}} = id
Une translation autre que id n’a pas de point fixe.

2. Symétries orthogonale et composition de symétrie orthogonales

Soit \Delta une droite du plan. La symétrie axiale d’axe \Delta , notée S_{\Delta} , est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' tel que M' = M si M \in \Delta et tel que \Delta soit la médiatrice de [MM'] si M \notin \Delta.

A la place de « symétrie axiale », on peut aussi dire « réflexion » ou « symétrie orthogonale ». La réciproque de la symétrie axiale d’axe \Delta est elle-même :
S_{\Delta } ^{-1} = S_{\Delta} ~;~ S_{\Delta} \circ S_{\Delta} =id
Les points fixes de S_{\Delta}  sont les points de \Delta.

3. Rotation et composition de rotation

Soit \varOmega un point du plan et \alpha un angle orienté. La rotation de centre \varOmega et d’angle \alpha, notée r(\varOmega ~;~ \alpha) est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' tel que M' = M  si M = \varOmega tel que \varOmega M = \varOmega M' et (\varOmega M ~;~ \varOmega M' )= \alpha sinon.

Si \alpha = 0 [2\pi], r(\varOmega ~;~ \alpha) est l’identité.
Si \alpha ^{-1} \ne 0 [2 \pi], r(\varOmega ~;~ \alpha) n’a que \varOmega comme point fixe.
Si \alpha = \pi [2 \pi], r(\varOmega ~;~ \alpha) est la symétrie centrale de centre \varOmega, notée S_{\varOmega}.

La   réciproque de la  rotation  de  centre \varOmega et  d’angle \alpha est  la rotation de centre \varOmega  et d’angle - \alpha :
r (\varOmega ~;~-\alpha)

Il est facile décomposer deux rotations de même centre :
r(\varOmega ~;~ \alpha) \circ r(\varOmega ~;~ \beta) = r(\varOmega ~;~ \alpha + \beta) = r(\varOmega ~;~ \beta) \circ r(\varOmega ~;~ \alpha).

Voici les définitions correspondantes :
En particulier S_{\varOmega} \circ S_{\varOmega} = id  ~;~ S_{\varOmega ^{-1}} = S_{\varOmega}.

Propriété

Si A et B sont deux points distincts du plan, et A’ et B’ leurs images respectives par r (\varOmega ~;~-\alpha) , on aura : (AB ; A’B’)=\alpha.

4. Composition d’une translation et d’une symétrie orthogonale

Symétrie glissée

• Soit \Delta une droite du plan et un vecteur \overrightarrow{u} directeur de \Delta .
  La symétrie glissée d’axe \Delta et de vecteur \overrightarrow{u}, est la transformation t \circ S_{\Delta}.
  t \circ S_{\Delta} = S_{\Delta} \circ t

Une symétrie glissée n’a pas de point fixe.
La réciproque de la symétrie glissée d’axe \Delta et de vecteur \overrightarrow{u} est la symétrie glissée d’axe \Deltaet de vecteur –\overrightarrow{u}.

III. Classification des isométries par leurs points fixes

A. Définition

On appelle deplacement toute isometrie qui conserve l’orientation des angles
Exemple : rotation-translation
On appelle antideplacement toute isometrie qui  ne conserve pas l’orientation des angles.
Exemple : symeties orthogonales (centrale)- symetrie glissee

B. Proprietes

• Soit f une transformation du plan. Un point M est un point fixe de f (ou invariant par f) si et seulement si f(M) = M.

1. Les isométries peuvent être classées par leurs points fixes :
– Une isométrie qui a trois points fixes non alignés est l’identité.
– Une isométrie distincte de l’identité qui admet deux points distincts fixes est une symétrie orthogonale.
– Une isométrie qui admet un et un seul point fixe est une rotation distincte de l’identité.
– Une isométrie qui n’admet pas de point fixe est une translation ou une symétrie glissée.

2.
– La composée de deux isométries directes ou de deux isométries indirectes est une isométrie directe.
– La composée d’une isométrie directe et d’une isométrie indirecte ou d’une isométrie indirecte et d’une isométrie directe est une isométrie indirecte.