Exercices – Isométrie du plan – Tle

Exercice 1

Soit ABCD un carré de sens direct et O son centre
1) Soit r la rotation de centre O et d’angle \dfrac{\pi}{2}. Déterminer r (A),~ r (B) et r (C).
2) Soient I et J les points tels que \overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{4}AB et \overrightarrow{BJ} = \dfrac{1}{4} \overrightarrow{BC}
a) Montrer que r (I)=J
b) Montrer que le triangle OIJ est isocèle rectangle

Exercice 2

Dans le plan orienté P, on considère un triangle équilatéral ABC tel que : (\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}}) \equiv \dfrac{\pi}{2}[2π]. On désigne par r_1 la rotation de centre A et d’angle \dfrac{\pi}{3} et par r_2 la rotation de centre B et d’angle \dfrac{2\pi}{3}
Soit M un point de P. On pose N = r_1 (M) et M’ = r_2 (N).
Soit r = r_2 \circ r_1
1.a) Soit D= S_{(AB)} (C). Déterminer r (D) et r (B)
b) Montrer que r est la symétrie centrale de centre \Omega = B * D.
c) Montrer que \Omega = M* M’.
2.a) Montrer que le triangle AMN est équilatéral.
On suppose que M, N et M’ sont alignés.
b) Montrer que (\widehat{ \overrightarrow{M\Omega}, \overrightarrow{MA}}) \equiv \dfrac{\pi}{3} [\pi].

Exercice 3

Dans le plan orienté, on considère deux points distincts A et B. On note R_A et R_B les rotations de centres respectifs A et B et d’angle de mesure \dfrac{\pi}{2}
Pour tout point M du plan, on note M_1 et M_2 les images respectives de M par R_A et R_B
1) On considère l’application T = R_B \circ R_A^{-1}
a) Construire le point C image de A par T.
b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de T
c) En déduire la nature du quadrilatère M_1M_2CA.
2) On suppose que le point M décrit le cercle \Gamma de diamètre [AB].
a) Déterminer et construire l’ensemble \Gamma_2 décrit par le point M_2 quand M décrit Г.
b) Soit \omega_1 = A * B et \omega_2 = B* C. Comparer les vecteurs \overrightarrow{\omega_1 \omega_2} et \overrightarrow{AC}
c) Déterminer l’ensemble décrit par le point I milieu de [M_1M_2] quand M décrit \Gamma.

Exercice 4

Le plan est orienté.
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AC = 2AB.
On désigne par K le projeté orthogonal de A sur la droite (BC) et I l’image de K par la symétrie orthogonale S_1, d’axe (AB) et J l’image de K par la symétrie orthogonale S_2 d’axe (AC).
1) Montrer que (BI) \perp (AI) et que (CJ) \perp (AJ).
2) Préciser la nature de la composée S_2 \circ S_1, puis prouver que A est le milieu de [IJ].
3) Montrer que CJ = IJ. (penser à calculer \tan \theta, où \theta est une mesure de l’angle (\widehat{\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CK}})

Exercice 5

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC de sens direct. On note A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].
1) Construire les points M et N tels que :
MA = MC et (\widehat{\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MC}}) \equiv \dfrac{\pi}{3} (2\pi)
NB = NC et (\widehat{\overrightarrow{NB}, \overrightarrow{NA}}) \equiv \dfrac{\pi}{2} (2\pi)
2.a) Démontrer que MB’ = A’C’ et que NC’= A’B’.
b) En déduire qu’il existe une rotation unique r telle que :
r(M) = A’ et r(B’) = C".
Déterminer l’angle de r.
3.a) Démontrer que r(A’) = N
b) Quelle est la nature de l’application r \circ r ?
En déduire le centre de r.
c) Quelle est la nature du triangle MA’N ?

Exercice 6

On considère dans le plan orienté, un triangle isocèle tel que (\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}}) \equiv \dfrac{\pi}{2} (2\pi)
On désigne par r la rotation de centre A et d’angle \dfrac{\pi}{2} et t la translation de vecteur \overrightarrow{AB}.
1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de r \circ t et t\circ r.
2) Soit M un point du plan. On pose M_1 = r \circ t(M) et M_2 = t \circ r(M)
Quelle est la nature du quadrilatère BCM_1M_2 ?

Exercice 7

Soit ABC un triangle quelconque de sens direct.
On construit à l’extérieur de ce triangle les triangles ARB, BPC et CQA isocèles rectangles respectivement en R, P et Q.
1.a) Soit I = A* B et r_p =r(P, \dfrac{\pi}{2}); ~r_Q = r(Q, \dfrac{\pi}{2})
Montrer que r_p \circ r_Q = S_1
b) En déduire que IPQ est un triangle rectangle isocèle.
2) Soit J = A*C et K = B*C on pose :

a) Démontrer que r_Q \circ r_R =S_K ; ~~r_R \circ r_P = S_J
b) En déduire que KQR et JPR sont des triangles rectangles isocèles.
3) Démontrer que les droites (QB); (RC) et (AP) sont concourantes.

Exercice 8

Dans le plan orienté, ABC désigne un triangle isocèle de sommet principal A et vérifiant (\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}}) \equiv \dfrac{\pi}{2} (2\pi)
Soit I le point d’intersection des bissectrices intérieures du triangle ABC.
On note :

1.a) Construire le point A’ image de A par la rotation R_C.
b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de R_C \circ R_A
c) montrer que IA’ = IA et que (IA’)//(AB)
2) La droite (CI) coupe (AB) en E, les droites (A’E) et (BI) se coupent en K, on désigne par :
h_C: l’homothétie de centre C et de rapport \dfrac{1}{\sqrt2}
h_K : L’homothétie de centre K et de rapport \sqrt2
a) Déterminer h_C(B),h_C(E) en déduire que \overrightarrow{BE} = -\sqrt2 (\overrightarrow{IA})
b) Déterminer h_K \circ h_C (B)
3) Donner la nature de h_K \circ h_C et ses éléments caractéristiques. En déduire que C, K, M sont alignés où M = E* B.

Exercice 9

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC de sens direct. On construit à l’extérieur de ce triangle les carrés ABDE et ACFG, ainsi que le parallélogramme AGKE.
On désigne par M = B*C et H le projeté orthogonal de A sur (BC).
1.a) Montrer qu’il existe un déplacement f dont on déterminera ses éléments caractéristiques transformant le triangle ABC en le triangle
GKA.
b) Montrer que les points H, A, K sont alignés.
c) Montrer que les droites (AM) et (EG) sont perpendiculaires.
2.a) Montrer que FB = CK
b) Donner une mesure de l’angle (\widehat{\overrightarrow{FB}, \overrightarrow{CK}})
3.a) Montrer qu’il existe un déplacement g qui transforme le triangle ABC en le triangle EAK dont on déterminera ses éléments caractéristiques.
b) Prouver que DC = BK et donner une mesure de l’angle (\widehat{ \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{BK}})
4°/ Montrer que les droites (AK), (BF) et (CD) sont concourantes.

Exercice 10

OAB un triangle isocèle de sens direct tel que OA = AB et P un point du segment [AB] distinct, de A et de B.
La parallèle à (OB) passant par P coupe (OA) en A’.
La parallèle à (OA) passant par P coupe (OB) en B’.
1) Justifier l’existence d’une rotation r tels que r(O) = B et r(A) = O.
2) Déterminer r(A’) et le centre \Omega de la rotation r.
3º/ Démontrer que O, A’, B’, \Omega sont cocycliques.

Exercice 11

On donne dans le plan (P) un triangle isocèle OO’A avec (\widehat{\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AO’}}) \equiv \dfrac{\pi}{2} (2\pi)
Les cercles (C) et (C’) passant par A et de centres respectifs O et O’ se recoupent en B.
A tout point M de (C), on associe le point M’ de (C’) tel qu’une mesure de (\widehat{\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{O’M’}}) \equiv -\dfrac{\pi}{2} (2\pi)
1) Montrer qu’il existe une rotation r, que l’on caractérisera, transformant O en O’ et M en M’.
2) M \ne B, les droites (BM) et (BM’) recoupent respectivement (C’) en N’ et (C) en N. Montrer que r(N) = N’.

Exercice 12

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que :
(\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}}) \equiv \dfrac{\pi}{3} (2\pi) et AB < AC.
On désigne par C le cercle circonscrit au triangle ABC et O son centre. Soit E le milieu du segment [BC] et P le point de [AC] tel que AB = CP.
La droite (OE) coupe C en I et J, tels que J et A soient sur le même arc[BC] du cercle (C).
1.a) Faire une figure.
b) Trouver l’ensemble des points M du plan tels que :
(\widehat{\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}}) \equiv \dfrac{\pi}{3} (2\pi)
c) Trouver l’ensemble des points M du plan tel que :
(\widehat{\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}}) \equiv \dfrac{\pi}{3} (2\pi) et MB < MC.
2.a) Justifier qu’il existe une unique rotation R telle que R(A) = P et R(B) = C. Déterminer son angle.
b) Démontrer que le centre de R est un point de C que l’on précisera.
c) Quelle est la nature du triangle JAP ?
3) Déterminer l’image de B par la composée R \circ S_B ou S_B désigne la symétrie de centre B.
Donner la nature et les éléments caractéristiques de cette composée.

Exercice 13

Soient A, B, C trois points non alignés tel que le triangle ABC soit rectangle en A de sens direct. On désigne par S_{(AB)}, S_{(BC)} et S_{(CA)} les symétries orthogonales d’axes respectifs (AB), (BC) et (CA) et par f l’application S_{(BC)} \circ S_{(CA)} \circ S_{(AB)}
1) Montrer que f est un antidéplacement.
2) Montrer que f est une symétrie glissante.
3) Donner la forme réduite de f.

Exercice 14

Soit ABCD un carré de sens direct et de centre O. Soit f l’antidéplacement qui transforme A en D et D en C.
1) Montrer que f est une symétrie glissante.
2) Soit E = f (C)
a) Montrer que DEC est un triangle isocèle rectangle en C.
b) Construire le point E.
c) Déterminer et construire l’image du point B par f
3) Déterminer la forme réduite de f.
4) Déterminer et caractériser l’application f \circ S_{AD}.