Exercices – Fonctions logarithme népérien ;Fonction exponentielle – Calcul intégral – Tle S

Exercice 1

Résoudre dans \R  les équations et les inéquations proposées

(E_1): \ln (x-2) +\ln (x+2)= \ln(x+8) \\ (E_2): \ln (x^2-4)=ln(x+8) \\ (I): \ln(5-x)+\ln 3- \ln(x-1)\geq 0

Exercice 2

Résoudre dans \R \times \R ~ chacun des systèmes suivants :

1 \begin{cases} 2\ln x-2\ln y=-2 \\ 3 \ln x + \ln y =5 \end{cases}

2 \begin{cases}x+y=7 \\ \ln x + \ln y= 12 \end{cases}

3 \begin{cases} (\ln x)(\ln y)= 11 \\ \ln (xy)=-12 \end{cases}

Exercice 3

Soit f la fonction dérivable sur \R ~et définie par~ f(x)=(x-\dfrac{1}{2})e^{2x}+\dfrac{1}{2}.~ On note (C)sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère (O,I,J)  unité graphique : 2cm.
1) Démontrer que la droite (D) d’équation y=\dfrac{1}{2}~est asymptote à(C) en -\infty .
2) Calculer les limites de f(x)~et de \dfrac{f(x)}{x} ~lorsque x tendvers~+\infty~ Interpréter graphiquement les résultats.
3) Pour tout nombre réel x, calculer f'(x)
4) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.
5) Etudier la position de (C) par rapport à(D)
6) Construire (C) et (D).
7) Soit un nombre réel t tel que t<0.
On désigne par A(t) l’aire en cm^2~de la partie du plan délimitée par (C) la droite d’équation y=\dfrac{1}{2}~ et les droites d’équation x=t ~et~x=0~
a) Calculer A(t) à l’aide d’une intégration par parties
b) Calculer \lim\limits_{\substack{x \rightarrow -\infty}} A(t)

Exercice 4

1) Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale
a) \displaystyle{\int_{0}^{\pi}} (x+1) \cos xdx ~~

b) \displaystyle{\int_{1}^{e}} t^2 \ln t dt

2) calculer \displaystyle{\int_{-4}^{4}} |x+3| dx

Exercice 5

On considère la fonction f définie sur \R~ par~f(x)=\dfrac{x}{e^x -x}.~ On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal (O;\vec{i};\vec{j})~l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit g la fonction définie sur \R ~par~g(x)=e^x-x-1
1) Etudier les variations de la fonction g . En déduire le signe de g.
2) Justifier que pour tout x, e^x -x > 0

Partie B

1.a) Calculer les limites de la fonction f en +\infty ~et~-\infty
b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
2.a) calculer f'(x), f’ désignant la fonction dérivée de f
b) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.
3.a) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0.
b) A l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T).
4) Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe (C).

Exercice 6

Soient f et g les fonctions définies de ]0;+\infty[ ~dans ~\R~ par :
f(x)=2x +\dfrac{1}{2}\times\dfrac{e^x+1}{e^x-1} et g(x)=2e^{2x}-5e^x+2~

a) Démontrer que f(x)=2x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{e^x -1}=2x- \dfrac{1}{2}+\dfrac{e^x}{e^x-1}
b) Factoriser g(x).
c) Déterminer le signe de la dérivée de f.

Exercice 7

On considère la fonction g définie sur \R~par~g(x)=(x+1)^2e^{-x}
Soit (C ) la représentation graphique de la fonction g dans le repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}), unité graphique 2 cm.
1) Calculer la dérivée g’ de g. Montrer que g’(x) est du signe de (1 – x2). En déduire les variations de g.
2) Montrer que :
a) \lim\limits_{\substack{x \rightarrow -\infty}} g(x)=+ \infty
b) \lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}}~g(x)=0 ~ et préciser l’asymptote à C correspondante.

3) Tracer la courbe ( C) dans le repère (O, \vec{i}, \vec{j}) .~ On placera en particulier les points de la courbe d’abscisses respectives –2 ; –1 ; 0 ; 1 et 3.

4.a) Par une lecture graphique, indiquer, suivant les valeurs du nombre réel k, le nombre de solutions de l’équation g(x) = k.
b) Prouver rigoureusement que l’équation g(x) = 2 admet une solution \alpha et une seule. Prouver que a appartient à l’intervalle [– 2 ; – 1].
c) Montrer que \alpha~vérifie la relation \alpha=-1-{\sqrt{2}e}^\tfrac{\alpha}{2}

Exercice 8

Soit f la fonction numérique définie sur \R~ par :
f(x)=\ln(e^{2x}-e^x+1)~le symbole \ln désignant le logarithme népérien.
1) Montrer que e^{2x}-e^x+1~ est strictement positif pour tout réel x. Étudier les variations de la fonction f.
Soit (C) la courbe représentative, dans un repère orthonormé, de la fonction f.
2) Préciser les limites de f~en ~+\infty ~et ~-\infty
3) Vérifier que f(x)-2x=\ln(1-e^{-x}+e^{-2x})~ et montrer que f(x) − 2x tend vers une limite lorsque x tend vers +\infty~En déduire l’asymptote correspondante de (C).
4) Construire la courbe (C) (on précisera la tangente au point de (C) d’ordonnée nulle).
5) Déterminer, en utilisant la courbe (C),le nombre de solutions réelles de l’équation d’inconnue :
e^{2x}-e^x+1=\dfrac{7}{8}
a) par le calcul,
b) en utilisant la courbe (C).

Exercice 9

  1. Déterminer les réels a, b, c tels que pour tout u différent de \dfrac{1}{2}, \dfrac{u^2-1}{2u-1}=a.u+b+\dfrac{c}{2u-1}
  2. Calculer \displaystyle{\int_{-1}^{0}} \dfrac{x^2-1}{2x-1}dx
  3. Calculer \displaystyle{\int_{-\tfrac{\pi}{6}}^{0}} \dfrac{\cos^3 x}{1-2 \sin x}dx

Exercice 10

Soit f  l’application de [0; +\infty[ ~ dans \R~définie par ~f(x)=2x+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{e^x+1}{e^x-1}, ~et ~g~l’application de \R ~dans ~\R ~définie par ~g(x)=2e^{2x}-5e^x+2

Partie A

  1. Montrer que, pour tout x de ]0;+\infty[ , ~on a~ f(x)=2x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{e^x-1}
  2. Montrer que pour tout x de ]0; +\infty[~on a~f(x)=2x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{e^x}{e^x-1}
  3. Résoudre l’équation g(x) = 0 puis factoriser g(x).

Partie B : Etude de f

1) Calculer les limites de f en 0 et en +\infty
2) a. Montrer que la droite (D) d’équation y=2x+\dfrac{1}{2}~est asymptote à la courbe (C) représentative de f.
b) Etudier la position de (C) par rapport à (D).
3) Montrer que la fonction dérivée de f est du signe de la fonction g de la partie A et dresser le tableau de variation de f.
4) Représenter (C) et ses asymptotes dans un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm)
5.a) Etudier graphiquement suivant les valeurs du nombre réel m, l’intersection de (C) et de la droite (Dm) d’équation y = 2x + m.
b) Démontrer par le calcul ces résultats (on pourra utiliser le A.1.).

Partie C : Calcul d’aire

1) En reconnaissant la forme \dfrac{u'(x)}{u(x)}, déterminer les primitives sur ]0;+\infty[~de la fonction~x \mapsto \dfrac{e^x}{e^x-1}
2) En déduire, en utilisant A.2., les primitives sur 0;+\infty[~de~f(x)-(2x+\dfrac{1}{2})
3) Calculer l’aire du domaine plan limité par (C), (D) et les droites d’équation x = ln 2 et x = ln 4.

Exercice 11

1) Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +\infty[~ par :\\~g(x)=\dfrac{1}{x(x^2-1)}
a) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que l’on ait,
pour tout x> 1: g(x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x-1}
b) Trouver une primitive G de g sur l’intervalle ]1;+\infty[.
2) Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1;+\infty[ ~par~f(x)=\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}.~Trouver une primitive F de f sur l’intervalle ]1;+\infty[
3) En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer :
I=\displaystyle{\int_{2}^{3}}\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}\ln xdx .~
On donnera le résultat sous la forme p \ln2 + q \ln 3 ~ avec p et q rationnels.

Exercice 12

Soit f la fonction définie par : \begin{cases} f(x)=\dfrac{x}{\ln x} ~si ~~x>0 \\ f(0)=0 \end{cases}

  1. Déterminer le domaine de définition de f.
  2. Etudier la continuité et la dérivation de f en 0.
  3. Calculer les limites de f(x) aux bornes de son ensemble de définition
  4. Calculer f’(x) et en déduire le sens de variation de f.
  5. Dresser le tableau de variation de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j})

Exercice 13

1) Soit f la fonction définie sur \R~par~f(x)=x^2e^{1-x}~
On désigne par (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O,\vec{i}, \vec{j})~ d’unité graphique 2 cm.
a) Déterminer les limites de f en -\infty~et en ~+\infty~ quelle conséquence graphique pour (C ) peut-on en tirer ?
b) Justifier que f est dérivable sur \R~Déterminer sa fonction dérivée ‘ .
c) Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe (C ).

2) Soit n un entier naturel non nul. On considère l’intégrale I_n définie par
I_n=\displaystyle{\int_{0}^{1}} x^n e^{1-x} dx
a) Établir une relation entre I_{n+1}~ et I_n
b) calculer I_1,~puis ~I_2
c) Donner une interprétation graphique du nombre ~I_2. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1. c.

3.a) Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l’inégalité suivante :
x^n \leq x^n e^{1-x} \leq x^n e
b) En déduire un encadrement de ~I_n puis la limite de ~I_n quand n tend vers +\infty

Exercice 14

Pour tout entier naturel n, on définit
I_n=\displaystyle{\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}} e^{-nx} \sin xdx~et~J_n=\displaystyle{\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}} e^{-nx} \cos xdx

  1. Calculer I0 et J0
  2. En intégrant par parties In puis Jn montrer que \begin{cases} I_n+nJ_n=1 \\ -nI_n+J_n=e^{-n\tfrac{\pi}{2}} \end{cases}
  3. En déduire les expressions de In et Jn en fonction de n.
  4. Déterminer la limite de In et celle de Jn quand n tend vers +\infty

Exercice 15

Soit la fonction numérique f définie par \R ~par ~f(x)=x^2 e^x-2~et (C) sa courbe dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j})~d’unité 2 cm
1.a) calculer la limite de f en -\infty~interpréter le résultat
b) Calculer \lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} f(x) ~ puis ~ \lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} \dfrac{f(x)}{x}~ interpréter graphiquement le résultat.

2.a) Calculer f ’(x) étudier son signe;
b) En déduire le sens de variation de f ;
c) Dresser  le tableau de variation de f.

3.a) Justifier que l’équation : x \in \R, f(x)=0~ possède une solution unique~\alpha ~ et que~\dfrac{1}{2} < \alpha <1.
b) Donner le signe de f sur \R~

4) Tracer la courbe (C).
5) Trouver les réels a, b, c pour la fonction
G:x \rightarrow (ax^2+bx+c)e^x~soit une primitive sur \R~ de la fonction
g:x \rightarrow x^2 e^2~puis donner G(x).
6) Calculer en cm2, l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des ordonnées et les droites d’équation x= -2 et y = -2.
On donne :
e^{-2} \backsimeq 0,13 ~\\ e^{\tfrac{1}{2}} \backsimeq 1,65 ~ \\ e^1 \backsimeq 2,72