Corrigés – Probabilités – Tle S
Exercice 1
A. La probabilité d’avoir un tirage unicolore
card (\Omega) =C_{10}^3=120
1) Soit A l’évènement « avoir un tirage unicolore ».
card (A)=C_5^3+C_3^3=10+1~
donc P(A)=\dfrac{card (A)}{card (\Omega)}=\dfrac{11}{120}
2) Soit B l’évènement « avoir exactement 2 boules de même couleur »
card (B)=C_3^2 \times C_7^1+ C_5^2 \times C_5^1 + C_2^2 \times C_8^1=79~
donc: P(B)=\dfrac{card (B)}{card (\Omega)}=\dfrac{79}{120}
B.1) Calcul de la probabilité d’avoir des boules rouges uniquement :
card (\Omega)=A_{10}^3=10 \times 9 \times 8 =720
Soit C l’évènement « avoir des boules rouges uniquement » ;
card (A)=A_5^3=5 \times 4 \times 3=60~
donc ~P(C)=\dfrac{card (C)}{card (\Omega)}=\dfrac{60}{720}=\dfrac{1}{12}
2) Soit D « pas de boules vertes au deuxièmes tirage ».
D=D_1 \cup D_2~ avec :
D_1:~« Pas de boules vertes au deuxième tirage mais la 1ère boule tirée est verte » ;
et D_2:~«pas de boules vertes au deuxième tirage et la 1ère boule tirée n’est verte»
On a:D_1 \cap D_2=\emptyset
card(D_1)=2 \times 8\times 8=128~et ~card(D_2)=8\times 7\times 8=448
P(D)=\dfrac{card (D)}{card (\varOmega)}=\dfrac{card(D_1)+card(D_2)}{card(\varOmega)}
Exercice 2
La classe comprend 36 élèves.
- Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol est égal à : 8 + 4 + 10 = 22
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol est donc égale à \dfrac{22}{36}=\dfrac{11}{18}. - Le nombre d’élève étudiant uniquement l’espagnol et le latin est égal à 8.
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie uniquement l’espagnol est donc égale à \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} - Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol et le latin est égal à 4.
Si on choisit un élève au hasard, probabilité pour qu’il étudiant l’espagnol et le latin est donc égale à \dfrac{4}{36}+\dfrac{1}{9} - Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol ou le latin est égal à 8+10+4+3+6=31
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol ou le latin est donc égale à \dfrac{31}{36} - Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol, l’espagnol et la musique, le latin, le latin et la musique est égal à 8+10+3+6=27
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol, l’espagnol et la musique, le latin, le latin et la musique est égale à \dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4} - Le nombre d’élèves étudiant une seule des trois options est égal à 8+6+5=19
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie une seule des trois options est donc égale à \dfrac{19}{36}
Exercice 3
1) Le dompteur choisit au hasard 5 fauves à chaque représentation.
Le dompteur a C_{10}^5=252~façons de choisir 5 fauves parmi les 10 présents.
Pour k entier compris entre 0 et 4, il y a C_4^k~façons de choisir k lions et C_6^{5-k}~façons de choisir (5 – k) autres fauves.
Ainsi, nous avons : P(X=k)=\dfrac{C_4^k \times C_6^{5-k}}{C_{10}^5} (k entier compris entre 0 et 4).
Ce qui nous donne la loi de probabilité de X :
2) L’espérance mathématique de X est donné par
E(X)=0 \times \dfrac{1}{42}+1\times \dfrac{5}{21}+2\times \dfrac{10}{21}+3\times \dfrac{5}{21}+4 \times \dfrac{1}{42}=2
L’espérance mathématique de X est donc de 2 lions.
Interprétation :
En moyenne, on dénombre deux lions au cours de chaque représentation.
Exercice 4
Avoir naissance simple conduit à 2 éventualités :
Soit on a un garçon, soit on a une fille.
C’est donc une épreuve de Bernoulli.
On pourrait considérer l’épreuve « avoir un garçon » comme le succès de probabilité p=\dfrac{1}{4} et l’épreuve « avoir une fille » comme l’échec de probabilité
q=1-p=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.
Cinq naissances successives constituent une succession de 5 épreuves de Bernoulli.
Pour calculer la probabilité d’avoir exactement 3 garçons, on utilise alors la loi binomiale de paramètres 5~et \dfrac{1}{4}.
Exercice 5
1.a) on dispose de 2 faces portant le chiffre 2 sur un ensemble de 6 faces :
Donc la probabilité d’obtenir le numéro 2 est :
P({2})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
b) Obtenir 421 revient à obtenir 4 au premier larcer, 2 au second lancer et 1 au 3ème lancer. Donc la probabilité d’obtenir le nombre 421 est :
P({421})=P({4}) \times P({2})\times P({1}) \\ =\dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{108}
2) Vérifions que la probabilité d’obtenir 421, est égale à \dfrac{1}{54}
P({421})=P({4}) \times P({2})\times P({1}) \\ =\dfrac{2}{6} \times \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{54}
3.a) Démontrons que la probabilité d’obtenir 421, est égale à \dfrac{2}{135}
Soit N l’évènement « obtenir le nombre 421 ».
Comme l’urne contient 10 dés dont 4 identiques au dé A et 6 identiques au dé B, alors la probabilité d’obtenir 421 est égale à la somme de 4/10 de la probabilité du cas 1.b et 6/10 de la probabilité du cas 2.
P(N)=P({421}) \\ =\dfrac{4}{10} \times \dfrac{1}{108}+\dfrac{6}{10} \times \dfrac{1}{54}=\dfrac{2}{135}
b) Calculons la probabilité que Chahed ait joué un dé de type A.
Soit A l’évènement « jouer avec un dé de type A ».
Ici, il s’agit donc de calculer la probabilité de jouer avec un dé de type A sachant qu’on obtient 421.
P_N(A)=\dfrac{P(A\cap N)}{P(N)}=\dfrac{\dfrac{4}{10}\times \dfrac{1}{108}}{\dfrac{2}{135}}
Exercice 6
Calculons les probabilités des évènements suivants :
P(A)=\dfrac{C_4^1\times C_3^1\times C_3^1}{C_{10}^3}=\dfrac{3}{10};
P(D)=1-(\dfrac{C_3^3+C_4^3+C_3^3}{C_{10}^3})=\dfrac{19}{20}.
Exercice 7
Vérification de l’indépendance des événements
a) « Etudier allemand » et « pratiquer football »
P(F)=\dfrac{45+33}{150}=\dfrac{13}{25}
et~P(Al)\times P(F)=\dfrac{2}{5} \times \dfrac{13}{25}=\dfrac{26}{125}
P(Al\cap F)\mathrlap{\,/}{=}P(Al)\times P(F)~donc les événements « Etudier allemand » et « pratiquer football » ne sont pas indépendants.
b) « Etudier anglais » et « pratiquer hand-ball »
P(H)=\dfrac{27+18}{150}=\dfrac{9}{30};
et~p(An)\times p(H)=\dfrac{3}{5} \times\dfrac{9}{30}=\dfrac{9}{50}
p(An\cap H)=p(An)\times p(H)~donc les événements « Etudier anglais » et « pratiquer hand-ball » sont indépendants.
Exercice 8
1) Ensemble des éventualités
Après le lancer la pièce peut indiquer pile « P » ou face « F » donc :
\Omega={PPP;PPF;PFP;FPP;FFP;PFF;FPF;FFF}
2) Déterminons la probabilité des événements élémentaires de \Omega.
La probabilité de chaque éventualité est :
p=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}
3.a) Valeurs prises par X.
X={0;1;2;3}
b. Calculons p(X=2)
p(X=2)=C_3^2 \times (\dfrac{1}{2})^2 \times (\dfrac{1}{2})^1=\dfrac{3}{8}
c) La loi de probabilité de X
d) Déterminons la fonction de répartition G
Exercice 9
a) Déterminons la loi de probabilité de X
Dans cette situation, nous n’avons que deux et deux possibilités; soit l’individu est malvoyant soit il ne l’est pas. Pour les 14 individus choisis nous avons un processus de Bernoulli de probabilité de succès
p=25\% =\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4},~de probabilité d’échec q=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}~et de nombre de répétitions n=14.
X suit donc une loi binomiale de paramètre n=14 et p = \dfrac{1}{4}~ et la loi de probabilité de X est définie par :
p(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}~avec
~k \in {0;1;2;..;14} d’où
~p(X=k)=C_{14}^k(\dfrac{1}{4})^k (\dfrac{3}{4})^{14-k}
b) Probabilité d’avoir au moins un habitant malvoyant
L’événement « avoir au moins un habitant malvoyant » est « X≥1 ». Cet événement à pour événement contraire l’événement « avoir zéro habitant malvoyant » c’est-à-dire l’événement « X=0 ».
Ainsi p(X \geq 1)=1-p(X=0) \\ =1-C_{14}^0 (\dfrac{1}{4})^0 (\dfrac{3}{4})^{14}=1-(\dfrac{3}{4})^{14}
c) Espérance mathématique et écart-type de X
E(x)=np=14 \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{2}~
et~\sigma (x)=\sqrt{nqp}=\sqrt{14\times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{42}}{4}
Exercice 10
1) La probabilité qu’il gagne
Soit N l’événement« Nathan gagne »
P(N)=p({1;4})+p({2;4})+p({3;4}) \\ =\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6};P(N)=\dfrac{1}{12}
2) La probabilité que Nathan gagne
Soit E l’ensemble des cas favorables et N’ l’événement« Nathan gagne »
E={2;1}∪{3;1}{3;2}∪{4;1}{4;2}∪{4;3}{5;1}∪{5;2}{5;3}∪{5;4}{6;1}∪{6;2}{6;3}∪{6;4}∪{6;5}
card E=15~donc~p(N’)=\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}.
3.a) Déterminons la loi de X
Construisons un tableau pour avoir les différentes que peut prendre X.
b) Calculons E(x)
E(x)=\sum_{\mathclap{}} x_{i}p(X=x_i)=\dfrac{105}{36}=\dfrac{35}{12}
c) E(x)<5 donc le jeu n’est pas avantageux pour Nathan.
Exercice 11
1) Déterminons en fonction de n la loi de probabilité de X.
L’ensemble des valeurs prises par X
X={4;5;6}
Probabilité d’obtenir chaque valeur de X
La loi de probabilité de X est donc déterminé par le tableau ci-dessous :
2) Calculons en fonction de n l’espérance mathématique E(x).
E(x)=4(\dfrac{n}{3n+3})+5(\dfrac{2n+1}{3n+3})+6(\dfrac{2}{3n+3})=\dfrac{14n+17}{3n+3}
3) Déterminons n pour que E(x)=\dfrac{59}{12}.
E(x)=\dfrac{59}{12} \Rightarrow \dfrac{14n+17}{3n+3}=\dfrac{59}{12} \Rightarrow n=34) Déterminons la plus petite valeur de n pour laquelle E(x)<4,8.
E(x)<4,8~donc~\dfrac{14n+17}{3n+3} < 4,8 \Rightarrow n > 6,5
Le plus petit entier naturel plus grand que 6,5 est 7 d’où n=7.
Exercice 12
1) Reproduisons et complétons le tableau suivant
2.a) Probabilité de tirer un carton portant un nombre réel.
Soit R l’évènement « tirer un carton portant un nombre réel »
p(R)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}
b) Probabilité de tirer un carton portant un nombre complexe dont le module est \sqrt2 .
Soit C l’évènement « tirer un carton portant un nombre complexe de module \sqrt2 »
p(C)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}
c) Probabilité de tirer un carton portant un nombre complexe dont un argument \sigma~est tel que
~0\leq \sigma \leq \dfrac{\pi}{2}
Soit A l’évènement « tirer un carton portant un nombre complexe d’argument \sigma~tel que
0 \leq \sigma \leq \dfrac{\pi}{2}
3.a) Donnons la loi de probabilité de X.
Valeurs prises par X
X={10 000, 8 000, 5 000; 0}
p(X=10000)=\dfrac{1}{12};
b) L’espérance mathématique de X.
E(X)=10.000 \times \dfrac{1}{12}+8.000 \times \dfrac{11}{144}+5.000 \times \dfrac{55}{144}+0 \times \dfrac{66}{144}=\dfrac{20.125}{6}
