Sujet 3 – Tle S

Exercice 1

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère les points A(0;4;1), B(1;3;0), C (2;-1;-2) et D(7;-1;-4)
1) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés
2) Soit (\Delta) la droite passant par le point D et de vecteur directeur \vec{u}(2;-1;3).
a) Démontrer que la droite (\Delta) est orthogonale au plan(ABC).
b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite(\Delta).
d) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite (\Delta) et du plan (ABC).
3) Soit P_1~ le plan d’équation :
x + y + z = 0
et P_2 le plan d’équation :
x+4y+2=0.
a) Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants.
b) Vérifier que la droite(d), intersection des plans P1 et P2 a pour représentation paramétrique :
\begin{cases} x=4t-2 \\ y=t \\ z=3t+2 \end{cases},~~ t \in \R
c) La droite (d) et le plan (ABC)sont-ils sécants ou parallèles ?

Exercice 2

Pour l’oral d’un examen comportant 10 leçons au programme, un examinateur prépare une question par leçon et inscrit les questions respectivement sur 10 feuilles séparées.
Chaque candidat doit tirer deux feuilles simultanément et répondre aux questions correspondants. Les feuilles ont la même probabilité d’être tirées.
Un candidat n’a appris que trois leçons.

1) Quelle est la probabilité qu’il ne connaisse aucune des leçons tirées ?
2) Quelle est la probabilité qu’il connaisse au plus une des leçons tirées ?
3) Quelle est la probabilité qu’il connaisse deux leçons tirées ?
4) Quelle est la probabilité qu’il connaisse au moins une des deux leçons tirées ?
5) Pour aider ce candidat, l’examinateur lui permet de recommencer le tirage du couple de leçon jusqu’à ce qu’il connaisse au moins l’une des leçons tirées. Les feuilles tirées ne sont pas remises en place après les tirages. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre d’essais effectués par le candidat concerné.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance mathématique de X.
c) Calculer l’écart type de cette variable.

Problème

Partie A
Soit g la fonction définie sur ]0;+\infty[~
par~g(x)=-3 -\ln x +\dfrac{1}{x}.

1) Calculer les limites de g aux bornes de son domaine de définition.
2) Déterminer la fonction dérivée g’ de g et dresser le tableau de variation de g.
3) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une seule solution \alpha~dans~]0;+\infty[~ et que cette solution appartient à [0,4;0,5]
4) Déduire de ce qui précède, l’étude du signe de g(x) sur ]0;+\infty[
5) On pose I=\displaystyle{\int_{\tfrac{1}{4}}^{\alpha}} g(x) dx.
a) Interpréter graphiquement I
b) Montrer que I= \alpha+\dfrac{1}{\alpha’}-\dfrac{7}{2}+\dfrac{3}{2} \ln 2

Partie B
Considère la fonction f définie sur ]0;+\infty[~par :
~f(x)=e^{-x}(3+ \ln x)~et on désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j})~d’unité graphique 4cm.
1.a) Etudier la limite de f en 0.
b) Etablir que f(x)=3e^{-x}+\dfrac{\ln x}{x}.\dfrac{x}{e^x} ~\\~\forall ~~x>0~et calculer~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}} f(x).
c) Déduire de cette étude les asymptotes de la courbe (C).
2) Déterminer la fonction dérivée f ’ de f et vérifier que pour tout réel x strictement positif on a : \\f'(x)=e^x.g(x)
3) Démontrer que f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha e^{\alpha}}~et donner un encadrement de f(\alpha)~à~ 5 \times 10^{-1}~près.
4) Déduire de l’étude faite à la question 4 (Partie A) les variations de f.
5) Déterminer le point d’intersection de la courbe (C) avec l’axe des abscisses
6) Tracer la courbe (C)

Partie C

Soit h la fonction définie sur [0,4;0,5] par :
h(x)=\dfrac{1}{3+ \ln x}
1) Montrer que \alpha~ est l’unique solution de l’équation h(x) = x.
2) Etudier les variations de h.
En déduire que pour tout x \in ~ [0,4;0,5], \\ h(x) appartient à [0,4;0,5].
3) Démontrer que pour tout x \in ~[0,4;0,5], \\ |h'(x)| \leq \dfrac{3}{5}
4) On définit la suite (U_n) par U_0=0,45~
et~\forall ~~n \in \N, U_{n+1}=h(U_n).
a) Montrer que pour tout n de \N, \\ U_n \in [0,4;0,5].
b) Montrer que pour tout n de \N, \\ |U_{n+1}-\alpha| \leq \dfrac{3}{5}|U_n-\alpha |
c) En déduire que pour tout n de \N, \\ |U_n-\alpha| \leq \dfrac{1}{20}.(\dfrac{3}{5})^n.
d) Montrer que la suite (U_n)~ est convergente et préciser sa limite.
e) A partir de quelle valeur n_0~ de n est-on sûr que U_n,~ représente une valeur approchée de \alpha~ à ~10^{-5}~ près ?