7) Probabilités – Tle S
I. Analyse combinatoire
1. Cardinal d’un ensemble fini
Définition :
Soit E un ensemble fini de n éléments ; E = {e1 , e2 , … , en }. Le nombre entier n est appelé le cardinal E, noté Card E.
Si E = Ø , on posera Card E = 0.
Propriétés :
P1 : Si A et B sont deux ensembles finis disjoints, alors A \cup B est un ensemble fini et on a Card(A \cup B) = CardA + CardB.
P1 : Si A et B sont deux ensembles finis, alors A \cup B est un ensemble fini et on a Card(A \cup B) = CardA + CardB – Card(A \cap B).
Exemple : Dans une classe de Terminale, tous les élèves étudient au moins l’anglais ou l’allemand. 30 élèves étudient l’anglais, 20 l’allemand et 15 l’anglais et l’allemand. Quel est le nombre d’élèves dans la classe ?
Solution : Soit E l’ensemble des élèves de la classe, A l’ensemble des élèves qui étudient l’anglais et B l’ensemble des élèves qui étudient l’allemand.
Card A = 30 ; Card B = 20 ; Card(A\capB) = 15 et E = A\cupB
Card E = Card A + Card B – Card (A\capB) = 30 + 25 – 15 = 35
2. p-liste d’éléments d’un ensemble fini
a. Définition
Soit A un ensemble fini non vide, p un nombre entier naturel supérieur ou égal à un. On appelle p-liste d’éléments de A toute liste (x1, x2, …, xp) où x1 , x2 , …, xp sont tous éléments de A.
L’ensemble de ces p-listes sera noté AP.
Exemple : On joue sept fois à pile ou face, et l’on note à chaque lancer le résultat apparu (P pour pile, F pour face). Un résultat de cette expérience est une succession de P ou F, par exemple (P ,F ,F ,P ,P ,P, F) ; les résultats possibles sont des 7-listes de l’ensemble {P , F}.
b. Propriété
Soit n et p deux nombres entiers supérieurs ou égaux à un, A un ensemble fini non vide de cardinal n.
L’ensemble AP des p-listes d’éléments de A a pour cardinal np.
Exemple : On se propose de mettre 5 lettres dans 3 boites, chaque boite pouvant contenir zéro ou plusieurs lettres. Appelons B1 , B2 , B3 les trois boites.
(B2 , B1 , B1 , B3 , B2) signifie que la première lettre est mise dans la boîte B2, la deuxième lettre et la troisième sont dans la boîte B1 , la quatrième dans la boîte B3 et la cinquième dans la boîte B2.
Il y aura autant de rangements possibles que de 5-listes d’éléments de {B1, B2, B3}, soit 35 = 243 rangements possibles.
3. Arrangement de p éléments d’un ensemble fini
a. Définition
Soit p un nombre entier supérieur ou égal à un, A un ensemble fini non vide.
On appelle arrangement de p éléments de A toute p-liste formée d’éléments deux à deux distincts de A.
b. Propriété
Soit n et p des nombres entiers tels que 1 ≤ p ≤ n, E un ensemble fini de cardinal n.
Le nombre d’arrangements de p éléments de E, noté A_n^p, est donné par :
A_n^p = n \times (n-1) \times ... \times (n-p+1)
Exemple : Une société de voyage propose aux touristes pressés une formule : « l’Afrique en huit jours ». Il s’agit de visiter 4 capitales africaines en passant deux jours dans chaque ville. Ces capitales sont à choisir parmi Dakar, Abuja, Accra, Libreville, Pretoria, Rabat suivant le goût du client. Combien y a-t-il de formules possibles ?
Réponse : Un trajet est un arrangement de 4 éléments de l’ensemble A formé par les 6 villes. Pour la 1ère étape, il y a 6 choix possibles, 5 pour la 2ème , 4 pour la 3ème et 3 pour la 4ème. Il y a donc 6x5x4x3 formules possibles.
Permutation :
Soit n un entier naturel non nul, A un ensemble de cardinal n.
On appelle permutation de A tout arrangement de n éléments de A.
Exemple : Soit E = {a, b, c}. Les permutations de E sont (a,b,c) , (a,c,b) , (b,a,c) , (b,c,a) , (c,a,b) , (c,b,a).
Propriété : Soit n un entier supérieur ou égal à 1. On appelle factorielle n le nombre, noté n! défini par : n! = n \times (n-1) \times … \times 2 \times 1 : C’est le nombre de permutations d’un ensemble fini de cardinal n.
Exercice d’application : Combien le prénom « MARIE » a- t-il d’anagrammes ? (Réponse : 5 !).
4. Combinaison de p éléments d’un ensemble fini
a. Définition
Soit n un entier naturel non nul, p un entier compris entre zéro et n.
On appelle combinaison de p éléments d’un ensemble A fini de cardinal n toute partie de A ayant p éléments.
Remarques :
– Une combinaison d’éléments de A est formée d’éléments distincts deux à deux.
– Il n’y a pas d’ordre dans l’énumération des éléments d’une combinaison.
Exemple : Soit A = {a,b,c} un ensemble de 3 éléments. Les parties de A à deux éléments sont : {a,b} , {a,c} ,{b,c}.
b. Propriété
Le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments (1 ≤ p ≤ n) est noté C_n^p et on a C_n^p = \dfrac{A_n^p}{p!}
5. Expression de A_n^p et C_n^p à l’aide de factorielles
Soit n et p deux nombres entiers tels que 0 ≤ p ≤ n. On a :
A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!} ; C_n^p = \dfrac{n!}{p!(n-p)!} ; C_n^p = C_{n}^{n-p} ; A_n^0 = 1 ; A_n^n = n! ; C_n^0 = C_n^n = 1 ; A_n^1 = n ; C_n^1 = C_{n}^{n-1} = n.
II. Calculs de probabilité
1. Le langage des évènements
a. Expérience aléatoire
Exemple 1 : On lance un dé et on observe le numéro qui apparait : 6 résultats sont possibles : 1,2,3,4,5,6. On dit qu’on a réalisé une expérience ou une épreuve aléatoire comportant 6 éventualités et que l’univers associé à cette expérience aléatoire est Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Exemple 2 : Une urne contient des boules blanches (B), rouges (R) et noires (N). On tire une boule dans cette urne et on note la couleur obtenue ; 3 résultats sont possibles : B,R et N. On a 3 éventualités et Ω = {B,R,N}.
b. Evénements liés à une expérience aléatoire
Définitions
Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire.
– On appelle événement toute partie de Ω.
– On appelle événement élémentaire tout singleton de Ω.
Exemple :
On lance un dé et on observe le numéro qui apparait.
« obtenir un nombre pair » est l’événement {2,4,6}.
« obtenir un nombre premier pair » est l’événement élémentaire {2}.
Dans une épreuve, un événement est réalisé s’il contient le résultat de l’expérience. Par exemple, si on obtient 4 lors du lancer d’un dé, l’événement « obtenir un nombre pair » est réalisé.
Signification des expressions
Exemples
On lance un dé et on observe le numéro qui apparait. On considère les événements suivants :
A : « obtenir un nombre pair »
B : « obtenir un nombre premier »
C : « obtenir 6 »
A \cup B = {2,3,4,5,6} ; événement « obtenir un nombre pair ou premier »
A \cap B = { 2} : « obtenir un nombre pair et premier »
Les événements B et C sont incompatibles.
\overline{\text{A}} = {1,3,5} ; événement « obtenir un nombre impair »
2. Probabilité d’un évènement
a. Introduction
On lance un dé bien équilibré et on note le numéro qui apparait ; l’univers associé à cette épreuve est Ω = {1,2 ,3,4,5,6}.
L’événement {2} a une chance sur 6 d’être réalisé : on dit que la probabilité de cet événement est 1/6
La probabilité de {1 ;5} est 1/3
« obtenir un nombre pair » est l’événement {2,4,6} dont la probabilité est ½
La probabilité de l’événement certain est 1.
La probabilité de l’événement impossible est 0.
b. Définition
Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire. Une probabilité sur l’univers Ω est une application P de P(Ω) vers [0 ;1], qui à toute partie A de Ω associe le nombre réel P(A) appelé probabilité de l’événement A et qui vérifie les conditions suivantes :
– La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
– La probabilité de l’événement certain est 1
– La probabilité de l’événement impossible est 0.
Exercice d’application : On lance un dé pipé, dont les faces sont numérotés de 1 à 6, et on note le numéro apparu. La probabilité d’apparition d’un nombre pair est le double de celle d’apparition d’un nombre impair et les probabilités d’apparition de deus nombres de même parité sont égales.
1) Calculer la probabilité d’apparition de chaque face du dé.
2) Quelle est la probabilité d’apparition d’un nombre inférieur ou égal à 4 ?
Réponse : Ω = {1,2,3,4,5,6}
1) Soit p la probabilité d’apparition d’un nombre pair et q celle d’un nombre impair. p = 2q, or P(Ω) = 1 donc 3p + 3q = 1, ce qui donne \text{q} = \dfrac{1}{9} et \text{p} = \dfrac{2}{9}
2) P(A) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = \dfrac{2}{3}
c. Propriété
Soit P une probabilité définie sur un univers Ω, A et B deux événements. On a :
– Si A \cap B = Ø alors P(A \cup B) = P(A) + P(B)
– Si A \cap B ≠ Ø alors P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)
Exercice d’application : Une urne contient 15 boules numérotées de 1à 15. On tire au hasard P(A) + P(\overline{\text{A}}) = 1 une boule et on note son numéro N. Les boules ont la même probabilité d’être tirée. On désigne par A et B les événements « N est pair » et « N est multiple de trois ».
Calculer les probabilités des événements A, B, A \cap B, \overline{\text{A}}, \overline{\text{B}} et A \cup B.
Réponse : Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14} ;
A = {2,4,6,8,10,12,14}
B = {3,6,9,12,15} ; A \cap B = {6,12}
Pour tout ω ϵ Ω , P(ω) = \dfrac{1}{15}
P(A) = 7 \times \dfrac{1}{15} = \dfrac{7}{15} ; P(B) = 5 \times \dfrac{1}{15} = \dfrac{1}{3} ; P(A \cap B) = \dfrac{2}{15}
P(\overline{\text{A}}) = 1 – P(A) = \dfrac{8}{15} ; P(\overline{\text{B}}) = 1 – P(B) = \dfrac{2}{3} ;
P(A \cup B = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \dfrac{7}{15} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{2}{3}
d. Evénements indépendants
Définition : Soit P une probabilité définie sur un univers Ω. Deux événements A et B sont indépendants lorsque : P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
Exercice d’application : Une classe comprend 9 filles et 36 garçons. A une demande de volontaires pour former une équipe de football mixte, on a obtenu les réponses suivantes :
On choisit un (ou une) élève au hasard dans la classe et on considère les événements suivants : F : « l’élève choisie est une fille » et V : « l’élève choisi est volontaire »
On a P(F) = \dfrac{9}{45} = \dfrac{1}{5} ; P(V) = \dfrac{33}{45} = \dfrac{11}{15} et P(F \cap V) = \dfrac{3}{45} = \dfrac{1}{15}
P(F \cap V) \ne P(F). P(V) donc les événements F et V ne sont pas indépendants.
Propriété : Si n expériences aléatoires sont indépendantes alors, pour tout événement A1 , A2 , …, An de chacun des univers associés à ces épreuves, on a :
P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2) \times ... \times P(A_n)
e. Equiprobabilité
Définition : Lorsque les événements élémentaires d’une expérience ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité.
Propriété : Soit P une probabilité définie sur un univers Ω. Dans l’hypothèse d’équiprobabilité, pour tout événement A on a : P(A) = \dfrac{\text{Card} A}{\text{Card} \Omega}
Remarque : Les éventualités de A sont appelés cas favorables et celles de Ω cas possibles. On écrit souvent : P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}
Exercice d’application : On tire simultanément et au hasard 5 cartes dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de tirer 2 rois ?
Réponse : p = \dfrac{C_4^2 \times C_{28}^3}{C_{32}^5}
3. Probabilité conditionnelle
a. Exemple
Dans une urne contenant quatre boules numérotées 1, 2, 3 , 4, on prélève deux boules au hasard simultanément.
1) Quel est l’univers des possibilités Ω associé à cette expérience ? Quelle est la probabilité des différents résultats possibles ?
2) Soit les événements suivants :
– A : « une des boules extraites est marquée 1 »
– B : « la somme des nombres inscrits sur les boules extraites est supérieure ou égal à 5 »
Quelles sont les probabilités des événements A et B ?
3) On suppose que l’événement A est réalisé.
a) Quel est l’univers des possibilités ?
b) Calculer \dfrac{P( A \cap B)}{P(A)}
Solution :
1) Ω = {{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}}. La probabilité des différents résultats possibles est p = \dfrac{1}{6}.
2) A = {{1,2},{1,3},{1,4}} et B = {{1,4},{2,3},{2,4}{{3,4}} donc P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} :
P(B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}
3.a) L’univers des possibilités est A
b) A \cap B = {{1,4}} donc \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{~\dfrac{1}{6}~}{~\dfrac{1}{2}~} = \dfrac{1}{3}
b. Définition
Soit P une probabilité sur un univers des possibles Ω et soit A un événement de probabilité non nulle.
Pour tout événement B, on appelle probabilité de B sachant A le réel noté PA(B) ou P(B/A), défini par P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
Cas particuliers :
Si A \subset B, on a A \cap B = A, d’où PA(B) = 1
Si B \subset A, on a A \cap B = B, d’où P_A(B) = \dfrac{P(B)}{P(A)}
c. Propriétés
1) Pour tout événement B, PA(B) ≥ 0
2) P_A(Ω) = \dfrac{P(A \cap \Omega)}{P(A)} = \dfrac{P(A )}{P(A)} =1
3) Si B1 et B2 sont deux événements incompatibles, alors PA(B1 \cup B2) = PA(B1) + PA(B2)
Démonstration : PA(B1 \cup B2) = \dfrac{P(A \cap (B_1 \cup B_2))}{P(A)} or A \cap (B1 \cup B2) = (A \cap B1) \cup (A \cap B2)
d’où PA(B1 \cup B2) = \dfrac{P((A \cap B_1) \cup (A \cap B_2))}{P(A)}. Comme de plus (A \cap B1) \cap (A \cap B2 = Ø,
on a PA(B1 \cup B2) = \dfrac{P((A \cap B_1) + P(A \cap B_2))}{P(A)} soit PA(B1 \cup B2) = PA(B1) + PA(B2).
d. Probabilité d’une intersection
Soit P une probabilité sur un univers des possibles Ω, et soit A un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement B, on a P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}, soit P(A \cap B) = P(A).PA(B).
Exemple : Dans une urne contenant 6 boules noires et 4 boules blanches, on effectue deux prélèvements successifs d’une boule sans remise. Soit A l’événement : « la première boule tirée est blanche » et B l’événement : « la seconde boule tirée est noire .»
On a : P(A) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}
PA(B) est la probabilité de tirer une boule noire dans une urne contenant 6 boules noires et 3 boules blanches : d’où P(A) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}.
Il s’ensuit : P(A \cap B) = P(A).P_A(B) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{15}.
Remarque : Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, on a : P(A \cap B) = P(A).PA(B) = P(B).PB(A).
III. Le schéma de Bernoulli – La distribution binomiale
1. Le schéma de Bernoulli
Considérons une expérience aléatoire E admettant deux issues et deux seulement, que nous convenons d’appeler succès (S) et échec (\overline{\text{S}}). On a : P(S) = p et P(\overline{\text{S}}) = q = 1 – p . Une telle expérience est appelée épreuve de Bernoulli.
Si nous répétons cette expérience en revenant à chaque fois aux conditions initiales, les résultats d’une expérience ne dépendent pas des résultats des expériences précédentes. On dit alors que cette répétition d’expériences identiques correspond à un schéma de Bernoulli.
2. La distribution binomiale
Considérons une épreuve constituée d’une suite de n expériences de Bernoulli, c’est-à-dire identiques et dont les résultats sont indépendants. Pour chacune d’entre elles, la probabilité du succès est p, celle de l’échec est q = 1 – p . Toute issue de cette épreuve est un n-uplet formé des éléments S et \overline{\text{S}}. Soit Ak l’événement : « obtenir k succès au cours des n expériences.»
Ak est la réunion de tous les n-uplets formés de k éléments S et de (n – k) éléments \overline{\text{S}} ; le cardinal de Ak est, par conséquent, C_n^k. On a P(A_k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}. On dit que le nombre de succès suit une distribution binomiale de paramètre (n,p) qu’on note B(n,p).
Exercice d’application
Un examen sous forme de QCM comporte cinq questions indépendantes. Pour chacune d’entre elles sont proposées quatre réponses dont une seule est la bonne. Un candidat se présente à l’examen sans avoir travaillé le moindre sujet et répond par conséquent au hasard à chaque question.
Calculer la probabilité pour que le candidat soit admis sachant que pour cela, il doit répondre exactement à au moins trois questions.
Solution
L’examen est une succession de 5 épreuves de Bernoulli. Pour chacune d’entre elles, désignons par S le fait que le candidat réponde exactement à la question.
On a P(S) = \dfrac{1}{4} et P(\overline{\text{S}}) = \dfrac{3}{4}.
Ak : « le candidat répond exactement à k questions » ; B : « le candidat est admis ». B = A3 \cup A4 \cup A5 or A3, A4 et A5 sont incompatibles, d’où P(B) = P(A3) + P(A4) + P(A5).
Ak suit une distribution binomiale de paramètre n = 5 et p = \dfrac{1}{4} donc P(A_k) = C_5^k ( \dfrac{1}{4} ) ^k ( \dfrac{3}{4} ) ^{5-k} .
P(B) = C_5^3 ( \dfrac{1}{4} ) ^3 ( \dfrac{3}{4} ) ^{2} + C_5^4 ( \dfrac{1}{4} ) ^4 ( \dfrac{3}{4} ) ^{1} + C_5^5 ( \dfrac{1}{4} ) ^5 ( \dfrac{3}{4} ) ^{0} = 0,10.
IV. Variables aléatoires
1. Activité
On considère le jeu de dé suivant à deux joueurs A et B. Un dé est lancé : si on obtient un résultat pair alors A donne 30 francs à B, si le résultat est 1 ou 5 alors B donne 50 francs à A, si le résultat est 3 la partie est nulle.
1) Quel est l’ensemble Ω des issues possibles du lancer et l’ensemble E des gains possibles du joueur A ?
2) On désigne par X la fonction de Ω vers E qui à tout élément de Ω associe le gain correspondant dans E.
a) Représenter X par un diagramme sagittal.
b) Compléter le tableau suivant :
Solution
1) Ω = {1,2,3,4,5,6} ; E = { – 3 ;0 ;5}
2) a)
b) P((X = - 3)) = P(\lbrace 2,4,6 \rbrace) = \dfrac{1}{2} ;
P((X = 0)) = P(\lbrace 3 \rbrace) = \dfrac{1}{6}
P((X = 5)) = P(\lbrace 1,5 \rbrace ) = \dfrac{1}{3}
2. Variable aléatoire. Loi de probabilité
a. Variable aléatoire
Ω étant l’univers associé à une épreuve aléatoire, toute application X définie sur Ω et à valeurs dans \R est une variable aléatoire.
L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est appelé univers-image, et est noté X(Ω). Exemple : X(Ω) = {-3,0,5}.
b. Loi de probabilité
On appelle loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire X, l’application qui, à tout réel xi de X(Ω), associe la probabilité, notée pi, de l’événement (X = xi).
Remarque :
– On représente généralement une loi de probabilité par un tableau de la forme suivante :
– Les événements (X = x1), (X = x2), …, (X = xn) sont deux à deux incompatibles et leur réunion est Ω. D’après la propriété d’additivité :
p(Ω) = p[(X = x_1) \cup (X=x_2) \cup ... \cup (X = x_n)]
p(Ω) = p(X = x_1) + p(X=x_2) + ... + p(X = x_n)
1 = p_1 + p_2 + … + p_n c’est-à-dire \displaystyle\sum_{i=1}^n p_i = 1
Exercice d’application : On dispose de dix boules, cinq rouges et cinq blanches indiscernables au toucher et de deux urnes identiques U et V. On place une boule blanche dans l’urne U et les neuf autres boules dans l’urne V. Un joueur choisit au hasard l’une des urnes et extrait ensuite, toujours au hasard, une boule de cette urne. Si la boule extraite est blanche, le joueur gagne 30 francs, si elle est rouge il perd 70 francs. On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeur le gain algébrique du joueur. Quelle est la loi de probabilité de X ?
Solution :
Soient U : « le joueur a choisi l’urne U » ; V : « le joueur a choisi l’urne V » ; R : « tirer une boule rouge » ; B : « tirer une boule blanche »
P(U) = P(V) = \dfrac{1}{2} ; P_U(B) = 1 ; P_U(R) = 0 ; P_V(B) = \dfrac{4}{9} ; P_V(R) = \dfrac{5}{9}
P(B) = P(B\cap U) + P(B \cap V) = P(U).P_U(B) + P(V).P_V(B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{13}{18}.
De même P(R) = \dfrac{5}{18}.
Donc P(X = -70) = \dfrac{5}{18} ; P(X = 30) = \dfrac{13}{18}
3. Fonction de répartition
a. Définition
X étant une variable aléatoire, on appelle fonction de répartition de X la fonction F, définie de \R vers [0 ;1] par : F(x) = p(X ≤ x).
b. Exemple
Si on considère le jeu de l’urne précédent, on a :
– Si x < - 70 , (X ≤ x ) est impossible, donc F(x) = 0
– Si – 70 ≤ x < 30 , (X ≤ x) = (X = -70) , F(x) = \dfrac{5}{18}
– Si x ≥ 30, (X ≤ x) = (X = - 70) \cup (X = 30) et F(x) = \dfrac{5}{18} + \dfrac{13}{18} = 1
Représentation graphique :
c. Propriétés de la fonction de répartition
P1 : Supposons que les valeurs x1 , x2 , …, xn prises par la variable aléatoire X sont classées dans l’ordre croissant (x1 < x2 < … < xn).
– Si x < x_1 , alors F(x) = 0
– Si x ≥ x_n , alors F(x) = 1
– Si 1 ≤ i ≤ n et x_i ≤ x < x_{i+1} alors F(x) = p_1 + p_2 + … + p_i
P2 : Si F est la fonction de répartition de la variable aléatoire X et si a et b sont deux réels tels que a < b alors : p(a < X ≤ b ) = F(b) – F(a).
4. Espérance mathématique d’une variable aléatoire
Soit {x1 , x2 , …,xn} l’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X.
Pour tout entier i, tel que 1 ≤ i ≤ n, on pose p_i = p(X = x_i). On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X, le réel noté E(X), défini par : E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + … + x_np_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i p_i.
Exemple : jeu de l’urne
On a donc E(X) = \dfrac{20}{9}
5. Variance et écart type d’une variable aléatoire
Soit {x1, x2 ,…, xn} l’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X dont l’espérance mathématique est E(X). Pour tout entier i, tel que 1 ≤ i ≤ n, on pose pi = p(X = xi).
On appelle variance de X, le réel positif, noté V(X), défini par :
V(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^n p_i(x_i - E(X))^2 ou encore selon le théorème de Koenig, V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2