1 – Les nombres réels – 2nde Le
Les nombres
I. Rappels
N : Ensemble des nombres entiers naturels ; N = {0, 1, 2, 3, …}
Z : Ensemble des nombres entiers relatifs ; Z = { … ; -9 ; -4 ; 0 ; 1 ; 3 ; … }
Q : Ensemble des nombres rationnels ; Q = { … ; -8,33 ; –\frac{4}{3} ; -1 ; 0 ; 1 ; \frac{8}{7} ; 3 ; … }
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \frac{p}{q}, p \in Z et q \in N^*. \frac{p}{q} est appelé fraction.
D : Ensemble des nombres décimaux relatifs ; D = { … ; -7 ; -6 ; -4 ; 0 ; 1 ; 3 ; … }
Un nombre décimal relatif est un nombre rationnel qui peut s’écrire sous la forme \frac{a}{10^p} ; a \in Z et p \in Z.
Les nombres irrationnels
Un nombre est irrationnel s’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.
Les nombres rationnels et irrationnels forment l’ensemble des nombres réels. On le note R.
R_+ est l’ensemble des nombres réels positifs et R_- est l’ensemble des nombres réels négatifs
Exemples : \pi ; \sqrt{2} ; \frac{5}{7}
On a : N \sub Z \sub D \sub Q \sub R
Remarque :
On représente l’ensemble des nombres réels par une droite graduée appelée droite numérique.
Calcul dans R
Somme-Produit et Quotient
Soit a, b, c et d des nombres réels tels que b \ne 0 et d \ne 0
Exercice
1) Calculer les nombres suivants en donnant les résultats sous forme de fraction irréductible.
2) Les nombres p et q suivants sont-ils égaux
Puissances
a et b des réels non nuls et n et p des entiers relatifs. On a :
Exercice
II. Notation scientifique
Un réel A est écrit en notation scientifique lorsqu’il est sous la forme A = a.10^p , où 1 \le |a| < et p \in Z
Exemple
Exercice :
Ecrire les nombres suivants en notation scientifique
III. Racines carrées
Soit a un nombre réel positif, on appelle racine carrée de a le nombre réel positif noté \sqrt{a} dont le carré est a.
Exemple
Activités numériques
IV. Valeurs absolues et distances
Définitions et propriétés
Définitions 1
Définition 2
Soit a et b des réels.
La distance de a et b notées d(a; b) et définie par d(a; b) = |b – a|
Exercice1
1) Soit l’équation (E] : x \in R ; |x - 2| = 3.
a) Ecrire l’équation (E) sous forme de distance.
b) Sur une droite graduée, placer le nombre 2 et déterminer graphiquement les nombres qui sont à la distance 3 de 2.
c) Donner alors les solutions de l’équation (E)
2)a) Déterminer graphiquement un réel x à égal distance de -2 et \frac{5}{2}
b) En déduire la solution de l’équation |x + 2| = |x - \frac{5}{2}|
c) Résoudre graphiquement |x - 0,5| = |x + 7|
d) Résoudre graphiquement les équations |x + 1| = \frac{3}{2} et |x - 2| = -3
Exercice 2
On considère l’intervalle ]2 ; 3[
a) Représenter graphiquement cet intervalle sur une droite graduée. Déterminer son centre c, son amplitude A et son rayon r
b)Soit x \in ]2 ; 5[