Corrigés - Les nombres réels - 2nde Le

2nde Le Mathématiques 1 – Les nombres réels – 2nde Le Corrigés – Les nombres réels – 2nde Le

Exercice 1

Déterminons l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
a) $f(x)=x^2-3x+4$
$f(x)$ est un polynôme donc $D_f = \R$

b) $f(x)= -3;$ $D_f = \R$

c) $f(x) = \dfrac{x+4}{x+1}$
$f(x)$ existe si et seulement si $x+1 \ne 0$ c’est-à-dire si $x \ne$ -1 donc $D_f = \R$ \{-1}

d) $f(x)= \dfrac{x^2}{x}$
$f(x)$ existe si et seulement si $x \ne$ 0 donc $D_f = \R$ \{0}

e) $F(x)= \dfrac{1}{(x-1)(x+3)}$
$f(x)$ existe si et seulement si
$(x-1)(x+3) \ne$ 0
$(x-1)(x+3) \ne$ 0 $\\ \leftrightarrow ~x-1$ $\ne$ 0 et $x+3 \ne$ 0
$\leftrightarrow ~x$ $\ne$ 1 et $x \ne$ -3
$D_f = \R$ \ {1;-3}

f) $f(x)= \sqrt{3+2x}$
$f(x)$ existe si et seulement si $3+2x \geq$ 0
$3+2x \geq$ 0; $x \leq$ – $\dfrac{3}{2}$
$D_f$ =]- $\infty$ ;- $\dfrac{ 3}{2}$ ]

g) f(x)= $\sqrt{(x-2)(x+3)}$
$f(x)$ existe si et seulement si :
$(x-2)(x+3) \geq$ 0
Etudions le signe de $(x-2)(x+3)$
Déterminons d’abord les racines de $(x-2)(x+3)$
$(x-2)(x+3)=0 \leftrightarrow ~x =2$ ou $x=-3$

$D_f =$ ]- $\infty$ ;-3[ $\cup$ [2;+ $\infty$ [

h) $f(x)= \sqrt{x-2} \times \sqrt{x+3} f(x)$ existe si et seulement si $(x-2) \geq$ 0 et $(x+3) \geq$ 0
$x-2 \geq$ 0 $\leftrightarrow x \in$ [2;+ $\infty$ [
$x+3 \geq$ 0 $\leftrightarrow x \in$ [-3;+ $\infty$ [
$D_f =$ [2; + $\infty$ [ $\cap$ [-3;+ $\infty$ =[2; + $\infty$ [

i) $f(x)= \sqrt{\vert(x-2)(x+3)\vert}$
$f(x)$ existe si et seulement si :
$\vert (x-2)(x+3) \vert$ $\geq$ 0
$\forall x \in$ $\R$ ; $\vert (x-2)(x+3) \vert$ $\geq$ 0 donc $D_ f=\R$

j) $f(x)= \dfrac {\sqrt{(2x+1)}}{x-3}$
$f(x)$ existe si et seulement si :
$2x +1 \geq$ 0 et $x-3 \ne$ 0 c’est-à-dire si $x \geq$ – $\frac{1}{2}$ et $x \ne$ 3
$D_ f$ =[- $\frac{ 1}{2}$ ;3[ $\cup$ ]3;+ $\infty$ [

Exercice 2

Etudions la parité de chacune des fonctions suivantes :
a) $f(x)=\dfrac{4}{x^2-4}$
$D_ f=\R$ \{-2;2}
$\forall ~~ x \in$ $D_ f ;-x \in~ D_ f$
et $f(-x)= \dfrac{4}{(-x)^2-4}=\dfrac{4}{x^2-4} =f(x)$ donc $f$ est paire.

b) $f(x)= \dfrac{ \vert x \vert }{x^3-4x}$
$D_ f=\R$ \{0;-2;2}
$\forall ~ x \in~ D_ f ;-x \in$ $D_ f$
et $f(-x)=\dfrac{\vert -x \vert }{(-x)^3-4(-x)}=\dfrac{ \vert x \vert }{-x^3+4x}$
$=- \dfrac{\vert x \vert }{x^3-4x}=-f(x)$ donc $f$ est impaire.

c) $f(x)=\frac{2x}{x^3+1}$
$D_ f=\R$ \{-1}
$\forall~~x \in$ $D_ f ;-x \in$ $D_ f$
et $f(-x)=\dfrac{2(-x)}{(-x)^3+1}$
= $\dfrac{-2x}{-x^3+1} \ne f(x) \ne -f(x)$ donc $f$ n’est ni paire ni impaire

d) $f(x)= \dfrac{x^3-2x}{x^2+1}$
$D_ f=\R$
$\forall ~~ x \in$ $D_ f$ ; $-x \in$ $D_ f$
et $f(-x)= \dfrac{(-x)^3-2(-x)}{(-x)^2+1}$
= $\dfrac{x^3+2x}{x^2+1}= -f(x)$ donc $f$ est impaire

e) $f(x)= \dfrac{1}{(x+1)^2}$
$D_ f=\R$ \{-1}
$\forall ~~ x \in$ $D_ f$ ; $-x \in$ $D_ f$
et $f(-x)= \dfrac{1}{(-x+1)^2}$ $\ne f(x) \ne-f(x)$ donc $f$ n’est ni paire ni impaire.

f) $f(x)= \vert x^3-x\vert$
$D_ f=\R$
$\forall ~~ x \in$ $D_ f ; -x \in$ $D_ f$
et $f(-x)= \vert (-x^3)-(-x)\vert$
= $\vert-x^3+x\vert$
= $\vert -(x^3-x)\vert$
= $\vert -1 \vert x \vert x^3-x\vert$
= $\vert x^3-x\vert = f(x)$ donc $f$ est paire

g) $f(x)= \sqrt{x^2-4}$
$D_ f$ =]- $\infty$ ;-2] $\cup$ [2;+ $\infty$ [
$\forall [~~ x \in$ $D_ f$ ; $-x \in$ $D_ f$
et $f(-x)= \sqrt{(-x)^2-4}$
= $\sqrt{x^2-4} =f(x)$ donc $f$ est paire

Exercice 3

Tableau de variation de $f$ sur [1;4] et sens de variation de $f$ sur [-4;4]:
a) Lorsque $f$ est paire

$\forall ~x\in$ [-4;-2] $\cup$ [1;2] $f$ est décroissante
$\forall ~x\in$ [-2;-1] $\cup$ [2;4] $f$ est croissante

b) Lorsque $f$ est impaire

$\forall ~x\in$ [-4;-2] $\cup$ [2;4] $f$ est décroissante
$\forall ~x\in$ [-2;-1] $\cup$ [1;2] $f$ est croissante

Exercice 4

Soit $f(x)= \dfrac{x^2+x}{x^2+x-2}$
1) a) Vérifions que pour tout réel $x; \\ x^2+x-2=(x-1)(x+2)$
on a :
$(x-1)(x+2)=x^2+2x-x-2 \\ =x2+x-2$
donc $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ pour tout réel $x.$
b) Ensemble de définition $D_ f$ de $f$
$f(x)$ existe si et seulement si $x^2+x-2 \ne 0$
c’est-à-dire si $(x-1)(x+2) \ne 0$
$(x-1)(x+2) \ne 0 \\ \leftrightarrow x-1 \ne 0$ et $x+2 \ne 0$
$\leftrightarrow x \ne 1$ et $x+2 \ne -2$
$D_ f=\R$ \{1;-2}

2) soit $g(x)= \dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}$
a) Ensemble de définition $D_g$ de $g$
$g(x)$ existe si et seulement si $3x^2+ 6x \ne 0$
$3x^2 + 6x \ne 0 \leftrightarrow 3x(x+2) \ne 0$
$\leftrightarrow x \ne 0$ et $x \ne -2$
$D_ g=\R$ \{-2;0}

b) Résolvons dans $\R$ l’inéquation $g(x)<1$
$g(x)<1 \leftrightarrow~ \dfrac {3x^2+13x+10}{3x^2+6x} <1$
$\leftrightarrow 3x^2+13x+10<3x^2+6x$
$\leftrightarrow 7x<-10$ $\leftrightarrow~x<-\dfrac{10}{7}$
$S_ R =]- \infty$ ; $-2[ \cup$ ] $-2 ~;~ -\dfrac{10}{7} [$

c) Déterminons $D_ f$ $\cap$ $D_ g$ = $\R$ \{-2}
et $D_ f$ $\cup$ $D_ g$ = $\R$ /{-2;0;1}

d) Résolvons dans $\R ; f(x)=0$
$f(x)=0 \leftrightarrow~ \dfrac {x^2+x}{x^2+x-2} =0 \\ \leftrightarrow x^2+x=0 \\ \leftrightarrow x(x+1)=0$
$\leftrightarrow x=0$ ou $x=-1$
$S_ R$ ={-1;0}

Exercice 5

Soit $f(x)= \dfrac {x}{x+1}$ et $g(x)= \dfrac {1}{1+ \frac {1} {x}}$
$f(x)$ existe si et seulement si $x+1 \ne 0$
c’est-à-dire si $x \ne -1$
donc $D_ f=\R$ \{-1}
$g(x)$ n’existe que si $1+\dfrac{1}{x} \ne 0$ et $x \ne 0$
On a : $1+ \dfrac {1}{x} \ne 0 \leftrightarrow \dfrac {x+1}{x} \ne 0$
$\leftrightarrow x \ne -1$ donc $D_ g=\R$ \{-1;0}
$D_ f \ne D_ g$ donc les fonctions $f$ et $g$ ne sont pas égales.

Exercice 6

Soit $p(x)=-x^3+4x^2-5x+2$
1) Calculons $p(2)$
$p(2)=-(2)^3+4(2)^2-5(2)+2=0$

2) Déterminons $a;b$ et $c$ tel que :
$p(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$
$p(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$
$=ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c$
$=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c$

Par identification :
$\begin{cases} a=-1\\ b-2a=4\\c-2b=-5\\-2c=2 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=2\\c=-1\end{cases} ~~ \text{d’où} ~~ p(x)=(x-2)(-x^2+2x-1)$

Résolvons dans $\R$ ; $p(x)=0$
$p(x)=0 \\ \leftrightarrow (x-2)(-x^2+2x-1)=0$
$\leftrightarrow -(x-2)(x^2+2x-1)=0$
$\leftrightarrow -(x-2)(x-1)^2=0$
$\leftrightarrow x-2=0$ ou $x-1=0$
$\leftrightarrow x=2$ ou $x=1$
$S_ R$ ={2;1}

Exercice 7

Soit $q(x)=2x^2-5x+2$
1) Vérifions que $\dfrac {1}{2}$ est une racine de $x$ et déduisons une factorisation de $q(x)$
$q(\dfrac {1}{2} )=2( \dfrac {1}{2} )^2-5( \dfrac {1}{2} )+2$

$= \dfrac{1}{2} – \dfrac {5}{2} +2=0$ donc $\dfrac {1}{2}$ est une racine de $q(x)$ et par conséquent

$q(x)=(x- \dfrac {1}{2} )(ax+b)$

$=ax^2+bx- \dfrac {1}{2} ax- \dfrac {1}{2} b$

$=ax^2+(b- \dfrac {1}{2} a)x- \dfrac {1}{2} b$
Par identification, on a :
$\begin{cases}a=2\\ b-\dfrac {1}{2} a=-5\\- \dfrac {1}{2} b=2 \end{cases}$ donc $\begin{cases} a=2\\ b=-4\end{cases}$
d’où $f(x)=(x- \dfrac {1}{2} )(2x-4) \\ =(2x-1)(x-2)$

2) soit $p(x)=2x^3-3x^2-3x+2$
a) Calculons $p(2); p(-1)$ et $p( \dfrac {1}{2} )$
$p(2)=2(2)^3-3(2)^2-3(2)+2=0$
$p(-1)= 2(-1)^3-3(-1)^2-3(-1)+2=0$
$p( \dfrac {1}{2} )=2( \dfrac {1}{2} )^3-3( \dfrac {1}{2} )^2-3( \dfrac {1}{2} )+2=0$
b)Ecrivons $p(x)$ sous forme d’un produit de trois facteurs du premier degré.
$p(x)=(x-2)(x- \dfrac {1}{2} )$