1. Les nombres réels
L’élève doit être capable de :
- Ecrire sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles des sous ensembles de IR ;
- Reconnaître si un réel appartient à un intervalle donné ou non ;
- Représenter sur une droite graduée un intervalle de IR ;
- Encadrer la somme de deux réels connaissant l’encadrement de chacun d’eux ;
- Encadrer le produit de deux réels positifs connaissant l’encadrement de chacun d’eux par deux réels positifs ;
- Utiliser les propriétés de la distance sur IR et de la valeur absolue dans des calculs ou des résolutions de problèmes ;
I)Rappels sur les ensembles
II) Intervalles de R
- Types d’intervalles
a)Intervalles Ouverts
Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a < x < b est un intervalle ouvert d’origine a et d’extrémité b . On note ]a ;b[
a et b n’appartiennent pas à l’intervalle ]a ;b[
b) Intervalles fermés
Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a \leq x \leq b est un intervalle fermé d’origine a et d’extrémité b . On note [a ;b]
Sa représentation est :
c)Intervalle semi fermé (semi-ouvert)
Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a \leq x \leq b est un intervalle semi-fermé d’origine a et d’extrémité b . On note [a ;b[
Sa représentation est :
d) Intervalle illimité
, a étant un réel, l’ensemble des réels x tel que x a est un intervalle illimité à droite contenant a. on note [a ; +\infty [ sa représentation est
l’ensemble des réels x tel que x \leq a est un intervalle illimité à gauche contenant a. On note ]-\infty ;a] sa représentation est :
l’ensemble des réels x tel que x < a est un intervalle illimité à gauche contenant a. on note ]-\infty ;a[ sa représentation est :
III)Encadrement
1)Encadrement d’une somme
a)Propriété
Etant donné les réels a ; a’ ; b ; b’ ; x et x’
Si a<x<b et a’<x’<b’ alors l’encadrement de x+x’ est a+a’<x+x’<b+b’
Remarque : Pour tout réel m , si a<x<b alors a+m<x+m<b+m
b)Exemple
On donne -2<x<9 et 3<x’<5 ; trouver l’encadrement de x+x’
On a : 3,14< \pi <3,15 trouver un encadrement de \pi+1 ; \pi-3
2)Encadrement d’un produit
a)Propriété
Etant donné les réels a ; a’ ; b ; b’ ; x et x’
Si a<x<b et a’<x’<b’ alors l’encadrement de xx’ est aa’<xx’<bb’
Remarque : Pour tout réel m positif si a<x<b alors am<x. m<bm
b)Exemple
on donne 3<x<4 et 9<y<14 ; trouver l’encadrement de xy
3)Encadrement de l’opposé
4)Encadrement d’une différence
Etant donné les réels a ; b ; c ; d ; x et y
Si a<x<b et c<y<d , pour trouver l’encadrement de x-y il faut :
Exemple : soient 1,5<x<3 ; 0,4<y<0,8 encadrer x-y
IV) Valeur absolue – Distance
1)Valeur absolue d’un nombre réel
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre réel x le réel |x| définie par :
Conséquences : Pour tout réel x on a :
2)Ecriture d’une expression sans le symbole de valeur absolue
Pour écrire |ax +b| sans le symbole de valeur absolue il faut suivre le principe suivant :
- |ax+b|=ax+b si ax+b \geq = 0 c’est à dire si x \geq \frac{-b}{a} ou si x \in [ \frac{-b}{a} ; +\infty [
- |ax +b|=-(ax +b)=-ax–b si ax+b \leq 0 c’est à dire si x \geq \frac{-b}{a} ou si x \in ]-\infty ; \frac{-b}{a}]
On établit ensuite le tableau comme celui-ci-dessous :
On donne en fin les réponses
Exemple1 : Ecrire sans le symbole de valeur absolue : |2x+5| ; |-5x +1|
Exemple2 :Ecrire sans le symbole de valeur absolue
A=|2x-1|+|-x+4| ; B=|-1+x|+|5-2x|
On procède comme précédemment en étudiant intervalle par intervalle et on aboutit au tableau suivant :
3) Distance entre deux réels
Définition
Soit a et b deux réels. On note A et B les points d’abscisses respectives a et b sur une droite graduée.
On appelle distance des réels a et b le réel |a-b| ; on le note d(a ;b). on a :
d(a ;b)=|b-a|=AB
Remarque
*si a = b alors d(a ;b) = 0
*si d(a ;b) = 0 alors a = b
*d(a ;b) \geq 0
*d(a ;b) = d(b ;a)
