1. Les nombres réels

L’élève doit être capable de :

  • Ecrire sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles des sous ensembles de IR ;
  • Reconnaître si un réel appartient à un intervalle donné ou non ;
  • Représenter sur une droite graduée un intervalle de IR ;
  • Encadrer la somme de deux réels connaissant l’encadrement de chacun d’eux ;
  • Encadrer le produit de deux réels positifs connaissant l’encadrement de chacun d’eux par deux réels positifs ;
  • Utiliser les propriétés de la distance sur IR et de la valeur absolue dans des calculs ou des résolutions de problèmes ;

I)Rappels sur les ensembles

 II) Intervalles de R

  • Types d’intervalles

a)Intervalles Ouverts

Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a < x < b est un intervalle ouvert  d’origine a et d’extrémité b . On note ]a ;b[

a et b n’appartiennent pas à l’intervalle ]a ;b[

b) Intervalles fermés

Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a \leq x \leq b est un intervalle fermé  d’origine a et d’extrémité b . On note [a ;b]

Sa représentation est :

a et b appartiennent à l’intervalle [a ;b]

c)Intervalle semi fermé (semi-ouvert)

Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a \leq x \leq b est un intervalle semi-fermé  d’origine a et d’extrémité b . On note [a ;b[

Sa représentation est :

a appartient à l’intervalle [a ;b[  mais b ne l’appartient pas

d) Intervalle illimité

, a étant un réel, l’ensemble des réels x tel que x a est un intervalle  illimité à droite contenant a. on note [a ; +\infty [ sa représentation est 

l’ensemble des réels x tel que x \leq a est un intervalle  illimité à gauche contenant a. On note ]-\infty ;a] sa représentation est :

l’ensemble des réels x tel que x < a est un intervalle  illimité à gauche contenant a. on note ]-\infty ;a[ sa représentation est :

III)Encadrement

1)Encadrement d’une somme

a)Propriété

Etant donné les réels a ; a’ ; b ; b’ ; x  et x’

Si a<x<b  et a’<x’<b’ alors l’encadrement de   x+x’   est    a+a’<x+x’<b+b’

Remarque : Pour tout réel m , si a<x<b  alors a+m<x+m<b+m

b)Exemple

On donne  -2<x<9   et 3<x’<5 ; trouver l’encadrement de x+x’

On a : 3,14< \pi <3,15   trouver un encadrement de \pi+1 ;   \pi-3 

2)Encadrement  d’un produit

a)Propriété

   Etant donné les réels a ; a’ ; b ; b’ ; x  et x’

Si a<x<b  et a’<x’<b’ alors l’encadrement de   xx’   est    aa’<xx’<bb’

Remarque : Pour tout réel m positif si a<x<b  alors  am<x. m<bm

b)Exemple

on donne  3<x<4   et 9<y<14 ; trouver l’encadrement de xy

3)Encadrement de l’opposé

4)Encadrement d’une différence

       Etant donné les réels a ; b ; c ; d ; x  et y

Si a<x<b  et c<y<d , pour trouver  l’encadrement de   x-y   il faut :

Exemple : soient 1,5<x<3   ;   0,4<y<0,8   encadrer x-y

IV) Valeur absolue – Distance

1)Valeur absolue d’un nombre réel

Définition

On appelle valeur absolue d’un nombre réel x le réel |x| définie par :

Conséquences : Pour tout réel x on a :

2)Ecriture d’une expression sans le symbole de valeur absolue

Pour écrire |ax +b| sans le symbole de valeur absolue il faut suivre le principe suivant :

  • |ax+b|=ax+b si ax+b \geq = 0 c’est à dire si x \geq \frac{-b}{a} ou si x \in [ \frac{-b}{a} ; +\infty [
  • |ax +b|=-(ax +b)=-axb si ax+b \leq 0 c’est à dire si x \geq \frac{-b}{a} ou si x \in ]-\infty ; \frac{-b}{a}]

On établit ensuite le tableau comme celui-ci-dessous :

On donne en fin les réponses

 Exemple1 : Ecrire sans le symbole de valeur absolue : |2x+5|   ;  |-5x +1|

Exemple2 :Ecrire sans le symbole de valeur absolue

A=|2x-1|+|-x+4|     ; B=|-1+x|+|5-2x|     

On procède comme précédemment en étudiant intervalle par intervalle et on aboutit au tableau suivant :

3) Distance entre deux réels

Définition

Soit a et b deux réels. On note A et B les points d’abscisses  respectives a et b sur une droite graduée.

  On appelle distance des réels a et b le réel |a-b| ; on le note d(a ;b). on a :

d(a ;b)=|b-a|=AB

Remarque
*si a = b alors d(a ;b) = 0
*si d(a ;b) = 0 alors a = b
*d(a ;b) \geq 0
*d(a ;b) = d(b ;a)