16. Positions relatives d’une droite et d’un cercle

l’élève doit être capable de : – construire une tangente à un cercle passant par un point donné ; – justifier le nombre de points d’intersection d’une droite et d’un cercle à l’aide de la distance du centre à la droite ; – utiliser les propriétés de la tangente à un cercle en un point pour résoudre des problèmes

I)Position relative d’une droite et d’un cercle

1)Activité :

Soit (D) une droite et O un point du plan. Soit (C) un cercle de centre O de rayon r=3cm. H est le projeté orthogonale de O sur (D). On note d=OH. Faire la figure dans les cas suivants :
a)d=4
b)d=3
c)d=2

Réponse

a)d=OH=4

(D) et (c) n’ont aucun point commun ; on note : (D) \cap (C ) = \empty.On dit que (D) est à l’extérieur  de (C)
H est le seul point commun à (c ) et à (D).On note: (D) \cap (C) = {H}
On dit que  (D) est TANGENTE en H au cercle (C ) ; on dit aussi que H est le point de Tangence.    

c)d=2 < R

A et B sont les points communs à (C ) et  à (D).On note: (D) \cap (C ) ={A ;B} ; on dit que (D) est sécante à (C )      

   2) Propriété

-Une droite est extérieure à un cercle si sa distance au  centre est strictement supérieure au rayon du cercle.
-Une droite est dite tangente à un cercle si sa distance au centre du cercle est égale au rayon de ce cercle.
-Une droite est dite sécante à un cercle si la distance au centre du cercle est inférieure au rayon de ce cercle.

II) Tangente en un point ;construction

1) Unicité de la tangente

Soit (C) un centre de centre O. Le cercle(C) admet en tout point M une tangente et une seule ;c’est la perpendiculaire en M à la droite (OM).

2) Méthode de construction

Soit (C) un cercle de centre O et de rayon r .soit A un point quelconque du plan.
Construire une tangente (T) au cercle passant par A dans les cas suivants :

a) A est un point du cercle (C)
b) A est un point à l’extérieur du cercle (C)

Réponse

a) A sur le cercle (C)

On a une seule Tangente

b) A est à l’extérieur du cercle                            

On a deux Tangentes  (AB) et (AB’)

c) A est à l’intérieur du cercle

Toute droite passant par A coupe le cercle en deux points ; il est donc impossible de construire une Tangente passant par A.