7. Monômes et Polynômes
| L’élève doit être capable de : – utiliser les identités remarquables et les propriétés des opérations dans R pour : développer, réduire et ordonner un polynôme, factoriser un polynôme. |
I) Rappels
1) Application Monômes
On appelle application monômes toute application définie par :
f : R \mapsto R
x \mapsto f(x)=axn
- a est le coefficient
- x est la variable
- n est le degré du monôme
Exemple :
g(x)=4x2 est un monôme : 4 est le coefficient; x est la variable ; 2 est le degré
2) Application polynômes
On appelle polynôme une somme de monômes définie par :
g : R \mapsto R
x \mapsto g(x)=axn + bxn-1 + cxn-2 + ……… + k
Le degré d’un polynôme est le degré le plus grand des monômes du polynôme
Exemple : h(x)= 3x4 + 7x3 + 2x2 + x + 9 ; 4 est le degré du polynôme
II)Opération sur les polynômes
1) Rappels
(a+b)2 =a2+ 2ab + b2
(a-b)2= a2– 2ab + b2
(a+b)(a-b)= a2 – b2
2) Développement d’un polynôme
Développer un polynôme c’est transformer une expression du polynôme en une somme de monômes.
Exemple
1) Développer puis réduire les polynômes suivants
A(x)= 3x(5x2+ 2x -2)+(x+4)(3x+7) ; B(x)=(3x+5)(6x-4)
2) Développer en utilisant les identités remarquables
- F(x)=(3x+5)2+(x+7)(x-7)
- G(x)=(2x-1)2 – (4x+1)(4x-1)
2) Factorisation d’un polynôme
a)Recherche de facteurs communs
Exemple: Factoriser les polynômes suivants :
- A(x)= (2x-3)(x+1)-(x+9)(2x-3)
- B(x)= (2x-5)(1+x)-2(7x-1)(2x-5) + 2x-5
b) Recherche de facteurs communs cachés
Exemple : factoriser
- F(x)=(2x+4)(x-1)+(3x+7)(x+2)
- G(x)=(2x+1)(3-x)+(1+x)(-1-2x) +2x2+x
c)Utilisation des produit remarquables
Exemples :Factoriser
- H(x)=25x2-30x +9
- J(x)=(x+5)2-(7x-3)2
- I(x)= 49x2+14x +1
d) Utilisation de factorisation partielle
- k(x)=4x4-16x3+16x2
- l(x)= 7x- 7y +2ax-2ay
3) Addition et multiplication d’applications polynômes
a)Addition
Soient f(x)=x2+10x +25 et g(x)=2x3+x2 +5x +1
Calculer le polynôme k(x)= f(x)+g(x)
Réponse k(x)=2x3 2x2 + 15x +26
La somme de deux applications polynômes est une application polynôme
b) Multiplication
soient f(x)=x2+2x +1 et g(x)=(3x+1). Calculer h(x)=f(x) X g(x)
Réponse h(x)=3x3+7x2+5x +1
Conclusion : Le produit de deux applications polynômes est une application polynôme
