12. Développement-Factorisation – Identités remarquables
I) Opérations sur les polynômes
1) Factorisation d’un polynôme
a) Exemple 1
Factorisons :
- 7a + 7b ;
- 45x+9y ;
- 10x2– 25x3 ;
Solution :
- 7a + 7b = 7(a + b) ;
- 45x+9y = 9 ( 5x+y) ;
- 10x2– 25x3 = 5x2( 2-5x)
b) Exemple 2
Factorisons :
- B= 15x3– 20x4 -10x2
- B= 5x2(3x- 4x2 -2)
c)Exemple3
Factorisons :
- A =7x +7y +ax +ay
- A= (x+y)(7+a)
Exercice d’application
Factoriser :
- A= 4x+4y ;
- B = 5y2-by ;
- C = 22x2+ 2cx -4kx2 ;
- D= ac +2a –bc -2b
2) Somme de monômes semblables
Soit A=7x2+ 4x2
7x2 et 4x2 sont des monômes de même degré. On a : A= (7+4)x2 = 11x2
Règle :La somme de deux monômes de même degré est soit un monôme de même degré soit le monôme nul.
Exemple :
- 3x2 + (-3)x2=0
- 15x3 – 7x3 =8x3
3)Réduction d’un polynôme
F(x)=4x2-7x 13 -5x2+2x +6
Réduisons f(x)
- F(x)=4x2-7x +13 -5x2+2x +6
- F(x)=4x2-5x2-7x+2x +13+6
- F(x)=-x2-5x+19
-x2-5x+19 est l’expression réduite de f(x)
Exercice d’application
Réduire les polynômes suivants
- G(x)=-3 +6x-3x+7x3-7x2+3x2
- H(x)=2y+10-3y2 -17 +2y2 + y3 + 6y3
4) Développement de polynôme
Développer (a+b)(c+d) ; (a+b)(c-d) ; (a-b)(c-d)
- (a+b)(c+d) =ac + ad + bc +bd
- (a+b)(c-d) =ac –ad + bc – bd
- (a-b)(c-d) = ac – ad – bc + bd
II)Produits Remarquables
1) Identité 1
Développons : (a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)= a2-ab + ba –b2 = a2 – b2
- Retenons :
Pour tous réels a et b on a: (a+b)(a-b) = a2 – b2
Exercice d’application
Factoriser 4x2-4x+1