12. Développement-Factorisation – Identités remarquables

I) Opérations sur les polynômes

1) Factorisation d’un polynôme

a) Exemple 1

Factorisons :

  • 7a + 7b ;  
  • 45x+9y ; 
  • 10x2– 25x3 ;

Solution :

  • 7a + 7b = 7(a + b)  ;     
  • 45x+9y  = 9 ( 5x+y)  ;    
  • 10x2– 25x3 = 5x2( 2-5x)

b) Exemple 2

Factorisons : 

  • B= 15x3– 20x4 -10x2
  •  B= 5x2(3x- 4x2 -2)

c)Exemple3

Factorisons :

  • A =7x +7y +ax +ay
  • A= (x+y)(7+a)

Exercice d’application

Factoriser :

  • A= 4x+4y   ;
  • B = 5y2-by  ;
  • C = 22x2+ 2cx -4kx2 ; 
  • D= ac +2a –bc -2b

2) Somme de monômes semblables

Soit A=7x2+ 4x2 

 7x2 et  4x2  sont des monômes de même degré. On a : A= (7+4)x2 = 11x2

   Règle :La somme de deux monômes de même degré est soit un monôme de même degré soit le monôme nul.

Exemple :

  • 3x2 + (-3)x2=0
  • 15x3 – 7x3 =8x3

3)Réduction d’un polynôme

F(x)=4x2-7x 13 -5x2+2x +6

Réduisons f(x)

  • F(x)=4x2-7x +13 -5x2+2x +6
  • F(x)=4x2-5x2-7x+2x +13+6
  • F(x)=-x2-5x+19

-x2-5x+19  est l’expression réduite de f(x)

Exercice d’application

Réduire les polynômes suivants

  • G(x)=-3 +6x-3x+7x3-7x2+3x2
  • H(x)=2y+10-3y2 -17 +2y2 + y3 + 6y3

 4) Développement de polynôme

Développer (a+b)(c+d)   ; (a+b)(c-d)   ;  (a-b)(c-d)

  • (a+b)(c+d)   =ac + ad + bc +bd
  • (a+b)(c-d)   =ac –ad + bc – bd
  • (a-b)(c-d) = ac – ad – bc + bd

        II)Produits  Remarquables

1) Identité 1

Développons : (a+b)(a-b)

(a+b)(a-b)= a2-ab + ba –b2 = a2 – b2

  • Retenons :

Pour tous réels a et b on a: (a+b)(a-b) = a2 – b2

Exercice d’application

Factoriser 4x2-4x+1