13. Translation

I)Définition

1)Activité

Construire un vecteur \overrightarrow{u} et placer les points A ; B ; C  et M dans le plan. Construire les points A’ ;B’ ;C’ et M’ tels que : \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{u} et \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}

Pour tout point M, on peut associer un point M’ tel que \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}

Ce procédé est une application du plan dans le plan. Cette application  est  appelée translation de vecteur  \overrightarrow{u}

2)Définition 

La translation de vecteur \overrightarrow{u} dans le plan P est l’application notée t_{\overrightarrow{u}} du plan P dans lui-même qui  à tout point M fait correspondre le point M’ tel que \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u} .

On dit que M’est le translaté (ou le transformé) de M par la translation

On note :

II)Image d’une figure par une translation

Pour obtenir l’image d’une figure par une translation il faut construire les images de tous les points de cette figure par cette translation.

Traçons un vecteur \overrightarrow{u} et un carré ABCD puis construire l’image de ABCD par la translation t_{\overrightarrow{u}}

On remarque que pour obtenir l’image d’une figure par la translation t_{\overrightarrow{u}} , On fait glisser la figure le long  du vecteur \overrightarrow{u}

III) Propriété

En observant la figure ci-dessus  on obtient les propriétés suivantes :

• Si  A’ et B’ sont les images des points A et B par la translation t_{\overrightarrow{u}} alors AA’B’B est un parallélogramme
• L’image d’un segment [AB] par une translation est un segment  [A’B’] tel que AB= A’B’ et (AB)//(A’B’)
• L’image d’une figure par une translation est une figure qui lui est superposable

Conséquences

• L’image d’un angle par une translation est un angle de même mesure
• L’image d’un triangle par une translation est un triangle de même nature et de même dimension(isométrique)
• L’image d’un rectangle(carré)par une translation est un rectangle (carré)de même dimension(isométrique)
• L’image d’un cercle  par une translation est un cercle  de même rayon