9. Les nombres réels

   I)Notion de nombres réels

Tous les ensembles de nombres déjà étudiés sont tous des nombres rationnels. On a : N \subset Z \subset D \subset Q

Chacun de ses ensembles peut s’écrire sous la forme d’une SDIP

Il existe des nombres qui ne correspondent pas à des SDIP. Par exemple \pi =3,1415926535…………

Ces nombres sont appelés des nombres irrationnels.

Définition

L’ensemble des nombres rationnels et irrationnels s’appelle l’ensemble des nombres réels. Il se note R.

• R = R⁺ \cup R^–
• R⁺ est l’ensemble des nombres réels positifs
• R^– est l’ensemble des nombres réels négatifs
• R^* = R-{0} est l’ensemble des nombres réels non nul
• R⁺ \cap R^– ={0}

Remarque : Tout nombre rationnel est un nombre réel mais tout nombre réel n’est pas un nombre rationnel 

Exemple : \frac{3}{2} \in Q et \frac{3}{2} \in R

\pi \in R mais \pi \notin Q

II) Opérations dans R

1)Propriétés de l’addition

a) Commutativité

Exemple : Calculons 7 +5 et 5 +7 ; que remarque t-on ?

• 7+5=12
• 5+7=12

On remarque que 7+5= 5+7

Pour tous nombres réels a et b on a : a+b =b+a ; on dit que l’addition est commutative dans R

b)Associativité

Pour tous nombres réels a ; b et c on a :a+b+c= (a+b)+c = a + (b+c)  on dit que l’addition est associative dans R

c) Elément neutre

Calculons 0+7 et 7+0

On a : 0+7= 7 ; 7+0 = 7

Ainsi 0+7= 7+0 =7 Pour tout nombre réel a on a : a+0=0+a =0 .  0 est l’élément neutre de l’addition dans R

d)Opposé d’un nombre réel

Tout nombre réel a admet un opposé .

Opp(a)=-a    ;   a+ (-a)=0

Remarque : La règle soustraire un nombre c’est ajouter son opposé est aussi valable dans  R

Pour tous nombres réels a et b : a-b = a+(-b)= a +opp(b) 

2)Propriété de la multiplication

a)Commutativité

Pour tous nombres réels a et b on a : a.b = b.a

On dit que la multiplication est commutative dans R

b)Associativité

Pour tous  réels a ; b et c on a : (a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c. On dit que la multiplication est associative dans R

c)Elément neutre

Pour tout nombre réel a on a 1 x a = a x 1= a. On dit que 1 est l’élément neutre de la multiplication dans R.

d )Inverse d’un nombre

Exemple : 5 x \frac{1}{5} = 1 ; on dit que 5 est l’inverse de \frac{1}{5}

a x \frac{1}{a} = 1 ; on dit que a est l’inverse de \frac{1}{a}

Tout nombre réel a non nul admet un inverse noté \frac{1}{a}. On a a x (\frac{1}{5}) =1

Règle : Pour tous nombre réel a et b \ne 0 ; a : b = a x \frac{1}{b}

e) Elément absorbant

Pour tout nombre réel a ; 0 x a= ax 0=0

On dit que 0 est l’élément  absorbant de la multiplication dans R

f) Autre propriété

Pour tous nombres réels a et b, si a x b = 0 alors a=0  ou b=0

3)Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition dans R

Pour tous nombres réels a ; b et  c :

a x(b + c) = a x b + a x c

On dit que la multiplication est distributive  par rapport à l’addition dans R

Remarque 

• Lorsqu’on passe de a x(b + c)     à    a x b + a x c on dit qu’on a développé a x(b + c) 
• Lorsqu’on passe de   a x b + a x c    à    a x(b + c)  on dit qu’on a factorisé a x b + a x c

III)Puissance entière dans R

On  a les mêmes propriétés dans Q que dans R

IV)Ordre et opérations dans R

1)Définition

Pour tous nombres réels a et b on a :

• a \leq b signifie que a-b \in R^– et b-a \in R⁺
• b \leq a signifie que a-b \in R⁺ et b-a \in R^–

2)Ordre et addition  – ordre  et multiplication

a)Ordre et addition                                                                                  

Pour tous nombres réels a ; b et c

si a \leq b alors a+c \leq b+c et si a \leq b alors a–c \leq b–c

On dit que l’addition conserve l’ordre dans R

b)Ordre et multiplication

Pour tous nombres réels a ;b et c :

• Si a \leq b et si c \geq 0 alors ac \leq bc
• Si a \leq b et si c \leq 0 alors ac \geq bc

On dit la multiplication par un nombre positif conserve l’ordre et la multiplication par un nombre négatif inverse l’ordre.