10. Puissance entière d’un nombre

  I) Définition

 1) Introduction

Calculons : A=2x2x2x2x2

          A=2x2x2x2x2=32

On a 5 facteurs tous égaux à 2 ; on écrit :

2x2x2x2x2=2⁵ qui se lit « 2 puissance 5 » ou « 2 exposant 5»

5 est appelé exposant

Exemple :3⁴=3x3x3x3=81

                 8³=8x8x8=512

 2) Convention

Activité

Calculons 2⁶ ; 2⁵ ; 2⁴ ; 2³ ; 2² ; après avoir observé la série des résultats ,donner une valeur à 2¹ ; 2⁰ ?

2⁶ = 64 ; 2⁵ = 32 ; 2⁴ = 16 ; 2³ = 8 ; 2² = 4

On remarque 32=64 :2 ;16=32 :2…Donc un résultat s’obtient en divisant le résultat précedent par 2

On en déduit : 2¹=2 ;2⁰=1

 De même on dira que :

• 5¹=5 ;(-3)¹=-3
• 5⁰=1 ;(-3)⁰=1 
• 0⁴=0 ; 0¹=0
• 0⁰ n’est pas défini

Remarque

Ne pas confondre puissance et produit

Exemple :

• a+a=2a
• a x a =a²
• a+a+a=3a et axa x a=a³

3) Définition

“a“ étant un nombre relatif et “n“ un entier naturel, on pose :

• aⁿ=a x a x a x a x—-x a  (n facteurs égaux à a )
• a¹=a
• a⁰=1 pour tout nombre a non nul

II) Opération sur les puissances

1) Produit de deux puissances d’un même nombre

Activité

Ecrivons 3⁴ x 3² sous la forme d’une puissance de 3.

La multiplication étant associative, nous obtenons  3⁴ X3²=(3 x 3 x 3 x 3)X(3 x 3)= 3x 3x 3x 3x 3x 3=3⁶

Propriété 1

 m et n étant deux entiers naturels et a un nombre relatif on a :

• a^m x aⁿ =a^m+n

2) Puissance d’un produit

Activité

 Calculer (3×5)³=(3×5)x(3×5)x(3×5)

• =3x5x3x5x3x5
• =3x3x3x5x5x5
• =3³x5³

Propriété 2

a et b étant deux nombres relatifs et m étant un entier naturel on a : (ab)^m=a^mxb^m

3) Puissance d’une puissance

Activité

Calculons (5²)³

• =(5²)x(5²)x(5²)
• =(5×5)x(5×5)x(5×5) 
• =5x5x5x5x5x5
• =5⁶

Propriété 3 

m et n étant deux entiers naturels et a étant un nombre relatif, on a : (a^m)ⁿ=a^mxn

III) Puissance de 10

1) Règle pratique

a) Activité

Calculer 10⁴ ;10³ ;10² ;10¹ ;10⁰

10⁴=10000;10³=1000;10²=100;10¹=10;10⁰=1

 b) Règle pratique

n étant un entier naturel, on a :10ⁿ=1…suivi de « n » zéro(s)

2) Notation scientifique d’un nombre

Soit n=32500

n peut s’écrire : n=3,25×10000= 3,25×10⁴

n a été écrit sous la forme a.10^P, avec a=3,25 et p=4. a est un nombre relatif compris entre 1 et 10 et p  étant un nombre entier.

On dit que 3,25.10⁴ est la notation scientifique de 32500.

Règle

Pour écrire un nombre « n » en notation scientifique on l’écrit sous la forme n=a.10^p a étant un nombre relatif compris entre 1 et 10 et p appartenant à Z