10. Puissance entière d’un nombre

  I) Définition

 1) Introduction

Calculons : A=2x2x2x2x2

          A=2x2x2x2x2=32

On a 5 facteurs tous égaux à 2 ; on écrit :

2x2x2x2x2=25 qui se lit « 2 puissance 5 » ou « 2 exposant 5»

5 est appelé exposant

Exemple :34=3x3x3x3=81

                 83=8x8x8=512

 2) Convention

Activité

Calculons 26 ; 25 ; 24 ; 23 ; 22 ; après avoir observé la série des résultats ,donner une valeur à 2; 2?

26 = 64 ; 25 = 32 ; 24 = 16 ; 23 = 8 ; 22 = 4

On remarque 32=64 :2 ;16=32 :2…Donc un résultat s’obtient en divisant le résultat précedent par 2

On en déduit : 21=2 ;20=1

 De même on dira que :

  • 51=5 ;(-3)1=-3
  • 50=1 ;(-3)0=1 
  • 04=0 ; 01=0
  • 00 n’est pas défini

Remarque

Ne pas confondre puissance et produit

Exemple :

  • a+a=2a
  • a x a =a2
  • a+a+a=3a et axa x a=a3

3) Définition

“a“ étant un nombre relatif et “n“ un entier naturel, on pose :

  • an=a x a x a x a x—-x a  (n facteurs égaux à a )
  • a1=a
  • a0=1 pour tout nombre a non nul

II) Opération sur les puissances

1) Produit de deux puissances d’un même nombre

Activité

Ecrivons 34 x 32 sous la forme d’une puissance de 3.

La multiplication étant associative, nous obtenons  34 X32=(3 x 3 x 3 x 3)X(3 x 3)= 3x 3x 3x 3x 3x 3=36

Propriété 1

 m et n étant deux entiers naturels et a un nombre relatif on a :

  • am x an =am+n

2) Puissance d’un produit

Activité

 Calculer (3×5)3=(3×5)x(3×5)x(3×5)

  • =3x5x3x5x3x5
  • =3x3x3x5x5x5
  • =33x53

Propriété 2

a et b étant deux nombres relatifs et m étant un entier naturel on a : (ab)m=amxbm

3) Puissance d’une puissance

Activité

Calculons (52)3

  • =(52)x(52)x(52)
  • =(5×5)x(5×5)x(5×5) 
  • =5x5x5x5x5x5
  • =56

Propriété 3 

m et n étant deux entiers naturels et a étant un nombre relatif, on a : (am)n=amxn

III) Puissance de 10

1) Règle pratique

a) Activité

Calculer 10;10;10;10;100

104=10000;103=1000;102=100;101=10;100=1

 b) Règle pratique

n étant un entier naturel, on a :10n=1…suivi de « n » zéro(s)

2) Notation scientifique d’un nombre

Soit n=32500

n peut s’écrire : n=3,25×10000= 3,25×104

n a été écrit sous la forme a.10P, avec a=3,25 et p=4. a est un nombre relatif compris entre 1 et 10 et p  étant un nombre entier.

On dit que 3,25.104 est la notation scientifique de 32500.

Règle

Pour écrire un nombre « n » en notation scientifique on l’écrit sous la forme n=a.10p a étant un nombre relatif compris entre 1 et 10 et p appartenant à Z