10. Les fractions (1) et (2)
A) Les fractions (1)
I) Ecriture fractionnaire
1)Convention
a)Notation
On convient de noter 7,16 : 2,10 = \frac{7,16}{2,10} .En générale si a et b sont des nombres décimaux ( b étant non nul )on pose : a : b = \frac{a}{b}
- a est le Numérateur
- b est le dénominateur
Remarque : si a et b(b non nul) sont des entiers naturels on dit que \frac{a}{b} est une fraction .
b) Conséquences
on a : \frac{6}{1} = 6 : 1 = 6 ; \frac{8,3}{1} = 8,3 : 1 = 8,3 ; \frac{0}{5} = 0 : 5 = 0
On retient que :
- Pour tout nombre “a“ on a : \frac{a}{1} = a
- Pour tout nombre b non nul on a : \frac{0}{b} =0
2) Fractions décimales
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10 ; 100 ; 1000 ; …
Calculons
\frac{2214}{100} = 22,14 ; \frac{7}{10} = 0,7 ; \frac{80}{1000} = 0,08
- Règle 1
Pour diviser un nombre entier par 10 ; 100 ; 1000 ; …. On place une virgule à 1 ; 2 ; 3 ;… chiffres à partir de la droite
On remarque que : 1,7 = \frac{17}{10} ; 2,83 = \frac{283}{100}
- Règle 2
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme de fraction décimale.
Exercice d’application
1)Donner la valeur décimale des fractions suivantes : \frac{1748}{100} ; \frac{91}{10} ; \frac{942}{1000}
2)Ecrire les nombres suivants sous forme de fractions décimales : 2,25 ; 45,1 ; 0,001
II)Ecriture fractionnaire d’un quotient
1)Règle préliminaire
- Activité
Après avoir calculé \frac{50}{30} ; \frac{5}{3} ; \frac{10}{6} ; \frac{25}{15}
On remarque que \frac{50}{30} = \frac{5}{3} = \frac{10}{6} = \frac{25}{15}
\frac{50}{30} = \frac{5X10}{3X10} ; \frac{10}{6} = \frac{5X2}{3X2} ; \frac{25}{15} = \frac{5X5}{3X5}
- Règle
On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
2)Quotient de deux décimaux
En appliquant la règle précédente on a : \frac{41,7}{7,3} = \frac{41,7X10}{7,3X10} = \frac{417}{73}
\frac{52,4}{7,31} = \frac{52,4X100}{7,31X100} = \frac{5240}{731}
- Règle
Tout quotient de nombres décimaux peut s’écrire sous la forme d’une fraction.
B) Les fractions(2) : Opérations
I)Simplification d’une fraction
1)Fraction irréductible
Trouver des fractions égales à \frac{18}{12} dont le numérateur est un entier naturel inférieur à 18
On a : \frac{18:2}{12:2} = \frac{9}{6} ; \frac{18:3}{12:3} = \frac{6}{4} ; \frac{18:6}{12:6} = \frac{3}{2}
On dit qu’on a simplifié \frac{18}{12} . \frac{3}{2} est une fraction qu’on ne peut plus simplifier : c’est une fraction irréductible
- Conclusion
Simplifier une fraction c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier ( supérieur à 1)
Une fraction irréductible est une fraction qui n’est plus simplifiable.
2) Rappel des critère de divisibilité
Pour simplifier une fraction il faut vérifier si le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisibles par un même nombre entier non nul .
Un nombre est divisible :
- Par 2 s’il se termine par un chiffre pair ( 0 ;2 ; 4 ; 6 ; 8 )
- Ex :74 ; 26 ; 3478
- Par trois si la somme de ces chiffres est divisible par 3
- Ex : 471 ; 7503 ;
- Par 5 s’il est terminé par 0 ou 5
- Ex : 155 ; 2040 ; 705
- Par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9
- Ex : 594 ; 7245
- par 10 s’il se termine par 0
- Ex : 340 ; 750 ; 190 ;
II) Opérations sur les fractions
1)Addition de deux fractions
a)Les deux fractions ont même dénominateur
Exemple :calculer \frac{2}{5} + \frac{1}{5} ; \frac{2}{6} + \frac{3}{6}
\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5} ; \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}
Propriété
Pour tous nombres a ; b et c on a : \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}
b)Les deux fractions ont des dénominateurs différents
calculer \frac{11}{8} + \frac{7}{4}
Si on multiplie le numérateur et le dénominateur de \frac{7}{4} par 2 on a : \frac{7X2}{4X2} = \frac{14}{8}
on a alors \frac{11}{8} + \frac{7}{4} = \frac{11}{8} + \frac{14}{8} on dit qu’on réduit les deux fractions au même dénominateur 8.
Le résultat est donc : \frac{11}{8} + \frac{7}{4} = \frac{11}{8} + \frac{14}{8} = \frac{11+14}{8} = \frac{25}{8}
Propriété
Pour additionner deux fractions quelconques :
- On les réduit au même dénominateur
- On applique la formule « pour tous nombres a ; b et c on a : \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} »
2)Multiplication d’un décimal par une fraction
a) Formule
Calculons 4 x \frac{7}{9}
on a : 4 x \frac{7}{9} = ( \frac{7}{9} + \frac{7}{9} ) + ( \frac{7}{9} + \frac{7}{9} )
= \frac{14}{9} + \frac{14}{9}
= \frac{28}{9} = \frac{4X7}{9}
Retenons
Pour tous nombres a, b et c(c non nul) on a :
a x (\frac{b}{c}) = \frac{aXb}{c}
b) Application
- Fraction d’une grandeur
Prendre de 6m signifie ( 6 : 3 ) X 2
Prendre les \frac{2}{3} de 6 revient à poser 6 x \frac{2}{3}
-Appliquer un pourcentage à une grandeur
40% de 1000F signifie (1000 :100) x 40
= (1000 x 4) : 100 = 400F
Conclusion
Pendre les 40% de 1000 revient à prendre 1000 x \frac{40}{100}