10. Les fractions (1) et (2)

A) Les fractions  (1)

I) Ecriture fractionnaire

1)Convention

a)Notation

On convient de noter 7,16 : 2,10 = \frac{7,16}{2,10} .En générale si a et b sont des nombres décimaux ( b étant non nul )on pose : a : b = \frac{a}{b}  

  • a est le Numérateur
  • b est le dénominateur

Remarque : si a et b(b non nul) sont des entiers naturels on dit que \frac{a}{b} est une fraction .

b) Conséquences

on a :   \frac{6}{1} = 6 : 1 = 6     ;    \frac{8,3}{1} = 8,3 : 1 = 8,3   ; \frac{0}{5}   = 0 : 5 = 0   

On retient que :

  • Pour tout nombre “a“ on a :  \frac{a}{1}  = a  
  • Pour tout nombre b non nul on a : \frac{0}{b}  =0

2) Fractions décimales

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10 ; 100 ; 1000 ; …      

Calculons

    \frac{2214}{100} = 22,14 ;     \frac{7}{10} = 0,7 ;   \frac{80}{1000}  = 0,08

  • Règle 1

Pour diviser un nombre entier par 10 ; 100 ; 1000 ;  …. On place une virgule à 1 ; 2 ; 3 ;… chiffres à partir de la droite

On  remarque que : 1,7 =   \frac{17}{10}   ;   2,83 = \frac{283}{100}    

  • Règle 2

Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme de fraction décimale.

Exercice  d’application

1)Donner la valeur décimale des fractions suivantes :    \frac{1748}{100} ;   \frac{91}{10}   ;   \frac{942}{1000}

2)Ecrire les nombres suivants sous forme de fractions décimales : 2,25 ;  45,1   ;   0,001

II)Ecriture fractionnaire d’un quotient

 1)Règle préliminaire

  • Activité

Après avoir calculé  \frac{50}{30} ; \frac{5}{3}  ;  \frac{10}{6}  ;  \frac{25}{15}       

On remarque que \frac{50}{30}  = \frac{5}{3} = \frac{10}{6} = \frac{25}{15}  

  \frac{50}{30} = \frac{5X10}{3X10}   ;   \frac{10}{6} = \frac{5X2}{3X2}    ;  \frac{25}{15} = \frac{5X5}{3X5}

  • Règle

On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.          

2)Quotient de deux décimaux

En appliquant la règle précédente on a : \frac{41,7}{7,3} = \frac{41,7X10}{7,3X10} = \frac{417}{73} 

     \frac{52,4}{7,31} = \frac{52,4X100}{7,31X100} = \frac{5240}{731}

  • Règle

Tout quotient de nombres décimaux peut s’écrire sous la forme d’une fraction.

B) Les fractions(2) : Opérations

I)Simplification d’une fraction

1)Fraction irréductible

Trouver des fractions égales à \frac{18}{12}  dont le numérateur est un entier naturel inférieur à 18

On a :   \frac{18:2}{12:2} = \frac{9}{6}      ;     \frac{18:3}{12:3} = \frac{6}{4}    ;    \frac{18:6}{12:6} = \frac{3}{2}     

On dit qu’on a simplifié  \frac{18}{12} . \frac{3}{2}  est une fraction qu’on ne peut plus simplifier : c’est une fraction irréductible

  • Conclusion

Simplifier une fraction c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre  entier ( supérieur à 1)

Une fraction irréductible est une fraction qui n’est plus simplifiable.

2) Rappel des critère de divisibilité

Pour simplifier une fraction il faut vérifier si le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisibles par un même nombre entier non nul .

Un nombre est divisible :

  • Par 2 s’il se termine par un chiffre pair ( 0 ;2 ; 4 ; 6 ; 8 )
    • Ex :74 ; 26 ; 3478
  • Par trois si la somme de ces chiffres est divisible par 3
    • Ex : 471 ; 7503 ;
  • Par 5 s’il est terminé par 0 ou 5
    • Ex : 155 ;  2040 ; 705
  • Par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9
    • Ex : 594 ; 7245
  • par 10 s’il se termine par 0
    • Ex : 340 ; 750 ; 190 ;

II) Opérations sur les fractions

1)Addition de deux fractions

a)Les  deux fractions ont même dénominateur

Exemple :calculer  \frac{2}{5} + \frac{1}{5}    ;    \frac{2}{6} + \frac{3}{6}   

  \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5}   = \frac{3}{5}     ;    \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}

Propriété

Pour tous nombres a ; b et c on a :  \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}

b)Les deux fractions ont des dénominateurs différents

calculer   \frac{11}{8} + \frac{7}{4}   

Si on multiplie le numérateur et le dénominateur de \frac{7}{4}  par 2 on a :   \frac{7X2}{4X2} = \frac{14}{8}

on a alors \frac{11}{8} + \frac{7}{4} = \frac{11}{8} + \frac{14}{8} on dit qu’on réduit les deux fractions au même dénominateur 8.

Le résultat est donc : \frac{11}{8} + \frac{7}{4} = \frac{11}{8} + \frac{14}{8} = \frac{11+14}{8} = \frac{25}{8}  

Propriété

Pour additionner  deux fractions quelconques :

  • On les réduit au même dénominateur
  • On applique la formule «  pour tous nombres a ; b et c on a : \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} »

2)Multiplication d’un décimal par une fraction

a) Formule

Calculons 4 x \frac{7}{9}   

on a : 4 x \frac{7}{9} = ( \frac{7}{9} + \frac{7}{9} ) + ( \frac{7}{9} + \frac{7}{9} )

                     = \frac{14}{9} + \frac{14}{9}

                     = \frac{28}{9} = \frac{4X7}{9}

Retenons

Pour tous nombres a, b et c(c non nul) on a :

a x (\frac{b}{c}) = \frac{aXb}{c}

b) Application

  • Fraction d’une grandeur

Prendre  de 6m signifie ( 6 : 3 ) X 2

Prendre les \frac{2}{3}  de 6 revient à poser 6 x \frac{2}{3}  

-Appliquer un pourcentage à une grandeur

40% de 1000F signifie (1000 :100) x 40

                                    = (1000 x 4) : 100 = 400F

Conclusion

Pendre les 40% de 1000  revient à prendre 1000 x \frac{40}{100}