12. Médiatrice d’un segment

I)Définition

1)Activité

Dessiner un segment [EF]. Placer O milieu de  ce segment et construire avec une équerre la droite (D) perpendiculaire à [EF] en O.

(D) s’appelle la médiatrice du segment [EF]

2)Définition

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

II)Propriété

1)Première propriété

a)Activité

Soit (D) la médiatrice du segment [EF] . Prenons un point M sur (D) et comparer les distances ME et MF

On remarque que ME = MF

b)Propriété

Pour tout point M de la médiatrice de [EF] on a ME = MF

2)Deuxième propriété

a)Activité

Traçons un segment [EF] et placer avec le compas quelques points situés à égale distance de E et de F

Que remarque t-on ?

On remarque que tous ces points sont situés sur la médiatrice du segment [EF]

b)Propriété

Tout point équidistant de A et de B se trouve sur la médiatrice de [AB]

3) Construction de la médiatrice avec le compas

Pour construire la médiatrice de [EF] avec le compas, on pose la pointe du compas sur E et on trace un arc de cercle puis sans changer l’écartement on pose de nouveau la pointe du compas sur F et on trace un deuxième arc de cercle. Ces deux arcs se coupent en un point I .On reprend la même opération(modifier au besoin l’écartement du compas) et on obtient un deuxième point J.

La médiatrice est la droite passant par I et J 

III) Médiatrice d’un triangle

1)Cas général

a)Activité

Tracer les médiatrices des côtés d’un triangle quelconque ABC

On constate que les médiatrices se coupent en un même point O ,On dit qu’elles sont concourantes. On peut dire que :

• O est sur la médiatrice de [AB] donc OA = OB
• O est sur la médiatrice de [BC] donc OB = OC
• O est sur la médiatrice de [AC] donc OA = OC

Alors OA = OB = OC

Les médiatrices d’un triangle se coupent en un même point. Ce point est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

2)Cas particuliers

a)Triangle isocèle

Traçons la médiatrice de la base [BC] d’un triangle isocèle ABC.

La médiatrice de la base d’un triangle isocèle est à la fois hauteur et médiatrice.

b)Triangle équilatéral

Tracer les trois médiatrices d’un triangle équilatéral ABC.

(AI) ; (BJ)  et (CK) sont à la fois hauteurs ; médianes issues des sommets et médiatrice  des côtés

Propriété

Les médiatrices d’un triangle équilatéral sont à la fois hauteurs et médianes

c)Triangle rectangle

Soit ABC est un triangle rectangle et I le milieu de son hypoténuse  ; traçons les trois médiatrices de ses côtés puis un cercle passant par A et de centre I.

Propriété

Les médiatrices d’un triangle rectangle se coupent au milieu du plus grand côté (hypoténuse)

Dans un triangle rectangle le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

IV) Construction à la règle et  au compas

1) Tracé de la médiatrice d’un segment 

2)Tracé du milieu d’un segment

3)Tracé de la perpendiculaire à une droite

a)Passant par un point A de cette droite

Avec le compas on prend sur la droite deux points I et J équidistant de A et on construit la médiatrice de [IJ] en suivant la méthode précédente.

b)Passant par un point A extérieur à cette droite

Avec le compas on prend sur la droite deux points I et J équidistants de A et on construit la médiatrice de [IJ] en suivant la méthode précédente.