Dénombrements – Tle C & D

Rappels

1) un ensemble E est dit fini si l’on peut compter ses éléments.
2) on appelle cardinal de E le nombre de ses éléments
3) card(\phi)=0
4) soit A et B deux parties d’un ensemble fini E.
\overline{\text{A}} est l’ensemble des éléments de qui n’appartiennent pas à A
A \cap B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B
A \cup B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou  à B
5) A et B sont disjoints si A \cap B = \phi
6) A \times B = {(x ; y)/x \in A et y \in B est le produit cartésien de A par B
NB : (x, y) \ne (y, x)
7) card(A \cup B) = card(A) + card(B) – card(A \cap B)
8) card (A \times B) = card(A) \times card(B)
On note \underbrace{A \times A \times A \times ...... \times A}_{\text{p facteurs}} = A^p et card(A^p)=[card(A)]^p
9) le nombre de parties d’un ensemble E à n éléments est 2ⁿ. \phi et E appartiennent à l’ensemble des parties de E

I. Tirages successifs avec remise

Combien de colorations y a t il si l’on veut colorer les lettres du mot BAC  avec les couleurs rouge (R) et verte (V) ?
Soit C= {R ; V} l’ensemble des couleurs et  L={B;A;C} l’ensemble des lettres du mot BAC.

Quelques exemples : RRR ; RRV ; VVV ; VRV ; ……

1) Il y a répétition de couleur
2) Les couleurs sont ordonnées
– Une coloration est un élément de C \times C \times C
– On a donc tiré successivement 3 éléments de C sans remise.
– Le nombre de tirages ou de colorations est Card(C³)=2³

Propriété :
Soit E un ensemble à n éléments et  p \in \N ;
Tirer successivement p éléments de E avec remise, c’est tirer les éléments l’un après l’autre en remettant chaque fois l’élément tiré. Le nombre de tirages est card(E^p)=[card(E)]^p=n^p

Exercice :
1) Combien de mots de 5 lettres ayant un sens ou non peut on former ?
2) Dans un restaurant, on propose 4 entrées, 3 plats de résistance et 2 desserts. Chaque client compose son menu en choisissant une entrée, un plat de résistance et un dessert. Quel est le nombre de menus possibles ?

II. Tirages successifs sans remise

Dans un parking, il y a 5 places. Combien y a t-il de possibilités de garer 3 voitures ?
Soit P={P₁ ;  P₂ ; P₃ ; P₄ ; P₅} l’ensemble des places et V={V₁ ;V₂ ; V₃}

Quelques exemples : P₁ P₂ P₃ ; P₁ P₅ P₃ ; P₄ P₅ P₃ 

1) Il n y a pas de répétitions
2) Les éléments sont ordonnés
-> Pour garer la première voiture on choisit un élément dans P.
-> Pour garer le deuxième voiture, on choisit une élément dans P’=P privé d’un élément.
-> Pour garer la troisième voiture on choisit un élément dans P’’=P’ privé d’un élément.

Un résultat possible est un élément de P \times P’ \times P’’
On a tiré donc successivement 3 éléments de P sans remise (ou sans répétition)
Le nombre de possibilités est Card(P \times P’ \times P’’) = 5 \times 4 \times 3 = 60

Propriété :

Soit E un ensemble à n éléments ; p un entier inférieur ou égal à n.
Tirer successivement p éléments de E sans remise, c’est tirer les éléments l’un après l’autre sans remettre l’élément tiré avant le tirage suivant.
On dit aussi qu’on fait un arrangement de p éléments.
Le nombre d’arrangements est noté :
A_n^p =n(n-1)(n-2)…(n-p+1)

Exemple :
A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60 ; A_n^1 = n  ; A_n^0 =1

Exercice :
7 chevaux sont en courses. Il n’y a pas d’ex aequo. Combien de quartés peut-on avoir ?
Indication : A_7^1

Permutation

A_n^n est le nombre de permutations. On note : A_n^n=n! et on lit factorielle n.
n!=n(n-1)(n-2) … 2 \times1
Par convention 0!=1
On a  n!=n \times [ (n-1)! ]   
A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!}

III. Combinaison

Un sac contient 10 jetons. On tire simultanément 3 jetons. Combien de possibilités y a t-il ?
On forme des parties à 3 éléments
On dit qu’on fait une combinaison de 3 éléments avec les jetons.
On a \dfrac{A_{10}^3}{3!} possibilités on note C_{10}^3 = \dfrac{A_{10}^3}{3!}

Propriété

Soit E un ensemble à n éléments et p un entier tel que p \leq n.
Tirer simultanément p éléments de E, c’est former des parties à p éléments avec les éléments de E. C’est aussi faire des combinaisons.
Le nombre de combinaisons est : C_{n}^p = \dfrac{A_{n}^p}{p!}

On a  C_{n}^0 = 1~ ; ~C_{n}^1 = n~ ; ~C_{n}^n = 1~ ; ~C_{n}^p = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}~          

Exemple : ~C_{10}^2 = \dfrac{10 \times 9}{2!} = 45~ ; ~C_{5}^3 = \dfrac{5 \times 4 \times 3}{3!} = 10~