1) Nombres complexes – Tle S

I. FORME ALGEBRIQUE

Définition

On appelle nombre complexe tout  nombre de la forme a + ib, tel que a et b sont des nombres réels et i^2 = - 1.
L’ensemble des nombres complexes est noté \Complex.

Notation et vocabulaire

Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib avec a et b des réels.

  • L’écriture a + ib est appelée forme algébrique de z ;
  • a est appelé partie réelle de z  notée Re(z) ;
  • b est appelé partie imaginaire de z notée Im(z).
  • Si b = 0, alors z = a : z est donc un nombre réel. On en déduit que tout nombre réel est un nombre complexe (ℝ⊂ℂ).
  • Si a = 0 et b ≠ 0, alors z = bi : le nombre z est dit imaginaire pur.

Propriétés :

Soit z et z’ deux nombres complexes, on a :

  • z = z’ si et seulement si Re(z) = Re(z’) et Im(z) = Im(z’)
  • z = 0 si et seulement si Re(z) = 0 et Im(z) = 0
  • 0 est appelé nombre complexe nul.

OPERATIONS DANS \Complex

a) Addition et multiplication

Soit z = a + bi et z’ = a’ + b’i deux nombres complexes. On a:
z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i et zz’ = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i
Les propriétés de ces opérations dans sont les mêmes que dans ℝ.

b) Identités remarquables

Pour tous nombres complexes z et z’ :

  • (z + z’)^2 = z^2 + 2zz’ + z’^2   ; 
  • (z - z’)^2 = z^2 - 2zz’ + z’^2   ;
  • (z + z’)(z – z’) = z^2 - z’^2   .

Remarque : (a + bi)(a – bi) = a2 + b2.
On peut donc factoriser dans des expressions non factorisables dans ℝ.

c) Application au calcul d’un quotient

d) Formule du binôme de Newton
Soient deux nombres complexes z et z’ et n un entier naturel non nul :

Exemples :
(1 + i)5 = 1 + 5i + 10i2 + 10i3 + 5i4 + i5 
= -4 – 4i

(2 – i)4 = 24 – 4.23i + 6.22i2 – 4.2i3 + i4
= -7 – 24i

NOMBRES COMPLEXES CONJUGUES

a) Définition
Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib. On appelle conjugué de z le nombre complexe noté \overline{z} tel que  \overline{z}= a – ib

b) Propriété 1
Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib. On a :

Exemples :

c) Propriétés 2
Pour tous nombres complexes z et z’, pour tout entier relatif n, on a :

Démonstration
Posons z = a + ib et z’ = a’ + b’
(i) On sait que zz’ = (aa’ – bb’) + i(ab’ + a’b).
Or on a = (a - ib)(a’ – ib’) = (aa’ – bb’) + i(ab’ + a’b) = \overline{zz}'

REPRESENTATION GEOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE

a) Affixe d’un point

Définition: Dans le plan (P) muni d’un repère orthonormal direct (O ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}) , le point M de coordonnées (a , b) est appelé point-image du nombre complexe z = a + ib. Réciproquement, le nombre complexe z = a + ib est appelé affixe du point M. On écrit M(z) et on lit : « M d’affixe z = a + ib ».

Exemple : Placer les points A(1 + i) et B(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i)

Remarques :

  • Deux nombres complexes conjugués z et z ont des points images symétriques par rapport à l’axe (O , \overrightarrow{u})
  • L’axe (O , \overrightarrow{u}) est l’ensemble des points images des nombres réels.
  • L’axe (O , \overrightarrow{v}) est l’ensemble des points images des nombres imaginaires purs

b) Affixe d’un vecteur

Définition : Dans le plan muni d’une base orthonormale directe, le vecteur \overrightarrow{w} de coordonnées (a , b) est appelé vecteur image du nombre complexe a + ib. Réciproquement, le nombre complexe a + ib est appelé affixe du vecteur \overrightarrow{w}.

Propriété : Si A et B sont deux points du plan d’affixes respectives zA et zB, alors le vecteur \overrightarrow{AB} a pour affixe zB – zA.

Exemple : Soit A(-\dfrac{1}{2} + i) et B(2 + 2i) ; \overrightarrow{AB} a pour affixe \dfrac{5}{2} + i et \overrightarrow{BA} a pour affixe -\dfrac{5}{2} -i.

c) Affixe du milieu d’un segment

Soit A, B et M trois points d’affixes respectives zA , zB et zM tels que M est le milieu de [AB].

MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE

Définition : Soit z un nombre complexe quelconque et M le point image de z dans le plan (P) muni du repère orthonormal ( O , \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}). On appelle module de z la distance OM. On note │z│= OM.

Remarques :

  • Si z est réel, sa valeur absolue et son module sont confondus.
  • |z| \in \R^+
  • |z| = 0 \leftrightarrow z = 0

Propriéte 1 : Soit z un nombre complexe tel que z = a + bi. On a : |z| = \sqrt{a^2 + b^2}

1) EQUATION DU SECOND DEGRE DANS

T.P : Résolution dans C des équations du second degré

Partie A
1°) a) Résoudre dans C les équations suivantes : z2 = 5 ; z2 = – 9
b) a étant un réel fixé, résoudre dans C l’équation z2 = a
2°) On désire résoudre dans C l’équation : z2 = 3 + 4i  (E). Pour cela, on pose z = x + iy, x et y étant des réels.
a) Calculer |z|2. Vérifier que résoudre l’équation (E) revient à résoudre dans IR x IR le système

b) En déduire les solutions z1 et z2 de l’équation (E). Vérifier que z2 = – z1.
3°) En procédant comme dans la question 2°), résoudre dans C l’équation z2 = 8 + 6i.
4°) Enoncé admis : a est un complexe donné, l’équation z2 = a admet deux solutions, distinctes ou confondues, opposées dans C. Ces solutions s’appellent les racines carrées du nombre complexe a.

Partie B

1°) Résoudre dans C, les équations suivantes : z2 + 5z + 3 = 0 ; z2 + z + 2 = 0. On pourra écrire les polynômes considérés sous forme canonique.
2°) On se propose de résoudre par deux méthodes l’équation dans C :
z2 – 2iz – i\sqrt{3} = 0 ( F ).

  • Première méthode : établir que l’équation (F) est équivalente à (z - i)^2 = -1 + i\sqrt{3}. Résoudre alors dans C l’équation \omega^2 = -1+i\sqrt{3}. En déduire les solution z1 et z2 de l’équation ( F ).
  • Seconde méthode : on pose a = 1, b = – 2i , c = -i\sqrt{3}. Calculer Δ = b2 – 4ac. Résoudre dans C l’équation δ2 = Δ. Soit δ une solution de cette dernière équation. Vérifier que les nombres \dfrac{-b + \delta}{2a} et \dfrac{-b -\delta}{2a} sont solutions de l’équation ( F ).

3°) Résoudre dans C l’équation 2iz2 – 3z – 1 – 3i = 0.
4°) Enoncé admis : Toute équation du second degré dans C admet soit une solution,dite double, soit deux solutions.

Partie C
Résoudre dans C les équations suivantes :
1°) z4 + 6z2 + 25 = 0
2°) z3 + 2z2 + z + 2 = 0 sachant qu’au moins l’une des solutions est un imaginaire pur.

II. FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE

Dans tout ce paragraphe, le plan est muni du repère orthonormal direct (O ,\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v}).

1) FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL

Activité
Soit M le point d’affixe z non nulle, de forme algébrique a + bi. Soit α une mesure de l’angle (\overrightarrow{u} , \overrightarrow{OM}) et r le module de z.
Calculer a et b en fonction de r et α. En déduire une deuxième écriture de z.

Solution
cos\alpha = \dfrac{a}{r} \Rightarrow a = r cos\alpha et sin\alpha = \dfrac{b}{r} \Rightarrow b = r sin\alpha donc z = a + bi = r(cosα + isinα) 

Définition
Soit M le point du plan complexe d’affixe z non nulle tel que OM = r et mes (\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{OM}) = α.
L’écriture r(cos α + sin α) est la forme trigonométrique du nombre complexe z ; α est un argument de z et l’on note argz = α.

Remarques

  • Pour tout entier relatif k, α + kπ est aussi un argument de z.
  • 0 ne peut pas être écrit sous forme trigonométrique
  • Pour noter le nombre complexe de module r et dont un argument est α, on écrit  z = [r , α].

Propriétés

      2) LIEN ENTRE FORME ALGEBRIQUE ET FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE

Soit z un nombre complexe non nul de forme algebrique x + iy et de forme trigonométrique [r , α].

Exemple : Soit z = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{i\sqrt{3}}{2}. Cherchons une forme trigonométrique de z.

3) OPERATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES

a) Egalité    
Soit z = [r , α] et z’ = [r’ , α’] deux nombres complexes non nuls. z = z’

  1. Nombre complexe conjugué

Soit z = [r , α] un nombre complexe non nul et \overline{z} son conjugué. Alors \overline{z} = [z , – α].
Conséquence : Si z est un nombre complexe de module 1 et d’argument α, alors z = cosα + isinα et \overline{z} = cosα – isinα. On en déduit les formules d’Euler suivantes :

c) Opposé d’un nombre complexe non nul
Soit z = [r , α] . On a –z son opposé tel que – z = [r , α + π]

d) Multiplication

e) Puissance entière d’un nombre complexe non nul
Quels que soient le nombre complexe non nul z et le nombre entier naturel n supérieur ou égal à 2, |zn| = |z|n et arg(zn) = n.argz + 2kπ, kϵ

Corollaire : Formule de Moivre :
Pour tout réel α et pour tout entier naturel n, (cos α + isin α)n = cosnα + isinnα

Argu = 1992.argz + 2kπ = \dfrac{1992}{3}π + 2kπ  = 664π + 2kπ = 2kπ  donc u = 1.

f) Quotient de deux nombres complexes non nuls

Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z’ :

Exercice d’application :
Soit z = (1 + i)4 et z’ = (\sqrt{3} - i). Ecrivons Z = \dfrac{z}{z'} sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique.

On a alors,|Z| = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} ; argZ = \pi + \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi , k \in Z  par suite Z = \dfrac{1}{2}(cos\dfrac{3\pi}{2} + isin\dfrac{3\pi}{2}) = -\dfrac{1}{2}i

g) Inverse d’un nombre complexe non nul

Quel que soit le nombre complexe non nul z,

1) Racine nième d’un nombre complexe non nul

a) Etude générale
Soit z un nombre complexe non nul et n un entier naturel non nul. On dit qu’un nombre complexe Z est une racine n-ième du nombre complexe z si et seulement si Zn = z.
On pose z = ρ(cosθ + isinθ) , Z = r(cosω + isinω). On connait ρ et  θ et on cherche r et ω. Zn = z ; Zn = [rn , nω] = rn(cos(nω) + isin(nω)] =  ρ(cosθ + isinθ) qui équivaut à

Conclusion:
Soit z = ρ(cosθ + isinθ) ; z admet toujours n racines n-ième qui s’écrivent :

b) Cas de l’unité
Déterminons Z tel que Zn = 1
1 = cos0 + isin0 ; Z = r(cosω + isinω) ; Zn = rn(cosnω + isinnω)

III. FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE

1) NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1
Le nombre complexe de module 1 et d’argument α est noté e.

2) NOMBRES COMPLEXES NON NULS
Soit z = r(cos α + isinα) = reiα. L’écriture reiα est la forme exponentielle du nombre complexe z.

Remarque : Si z = reiα avec r < 0, on peut écrire z = (- r)( -eiα) = – r(- cosα – isinα) = -r[cos(α + π) + isin(α + π)] = – r ei(α + π)
On a alors |z| = – r et arg z = α + π

3) REGLES DE CALCULS

Les règles de calculs sur les nombres complexes écrits sous forme exponentielle sont les règles de calculs sur les puissances.
Quels que soient les nombres complexes non nuls reiα et reiβ :

4) FORMULE DE MOIVRE

(cosα + isinα)n = cosnα + isinnα donc  (eiα)n = einα
Exemple : Ecrivons cos2α et sin2α en fonction de sinα et cosα
(e^{ia})^2 = e^{i2a}
\Leftrightarrow (cos\alpha + i.sin\alpha)^2 = cos2\alpha + i.sin2\alpha
\Leftrightarrow cos^2\alpha - sin^2\alpha + 2i.cos\alpha.sin\alpha = cos2\alpha + i.sin2\alpha

5) FORMULE D’EULER

IV. TRAVAUX PRATIQUES

       INTERPRETATION GEOMETRIQUE

1) EXEMPLES DE CARACTERISATIONS DE CONFIGURATIONS SIMPLES DU PLAN
a) Cercle de centre A et de rayon R

Le cercle de centre A(z) et de rayon R > 0 est l’ensemble des points M(z) tels que :
 |z – zA| = R.

b) Médiatrice d’un segment [AB]
La médiatrice de [AB] est l’ensemble des points M du plan d’affixe z, tels que
 |z – zA| = |z – zB|

c) Triangles

  • ABC est un triangle isocèle en A équivaut à |zB – zA| = |zC – zA|.
  • ABC est un triangle équilatéral équivaut à |zB – zA| = |zC – zA| = |zC – zB|

d) Angles de vecteurs

Donc \dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{ACe^{i\gamma}}{ABe^{i\beta}}=\dfrac{AC}{AB}e^{i(\gamma -\Beta)}. \gamma -\beta = (\overrightarrow{i} , \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{i}) + (\overrightarrow{i} , \overrightarrow{AC}) = (\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}).
γ – β et α sont donc des mesures de (\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}) donc e^{i(\gamma -\beta)} = e^{i\alpha} Finalement : \dfrac{c-a}{b-a} = \dfrac{AC}{AB}e^{i\alpha}
Pour tous nombres complexes distincts a, b et c d’images respectives A, B et C et pour toute mesure α de l’angle (\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}), on a \dfrac{c-a}{b-a} = \dfrac{AC}{AB}e^{i\alpha} Autrement dit : |\dfrac{c-a}{b-a}| = \dfrac{AC}{AB} et arg\dfrac{c-a}{b-a} = (\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}).

Exercice d’application : A tout complexe z ≠ i, d’image M, on associe Z = \dfrac{z-2}{z-i}.

  1. Interpréter géométriquement |Z| et argZ à l’aide des images A de 2 et B de i.
  2. Déterminer l’ensemble E1 des points M tels que |Z| = 1
  3. Déterminer l’ensemble E2 des points M tels que Z est un nombre réel.
  4. Déterminer l’ensemble E3 des points M tels que Z est un imaginaire pur.

Réponse :

1. Si z = 2, Z = 0 donc Z n’a pas d’argument

2. |Z| = 1 équivaut à \dfrac{MA}{MB} qui équivaut à MA = MB donc E1 est la médiatrice de [AB].
3. Z est un réel signifie que Z = 0 ou argZ = 0 ou argZ = π c’est-à-dire M = A, (\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MA}) ou (\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MA}) = \pi. Par suite E2 est la droite (AB) privée du point B.
4. Z est un imaginaire pur signifie que Z ≠ 0 d’une part et d’autre part,  (\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MA}) = \dfrac{\pi}{2} ou (\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MA}) = -\dfrac{\pi}{2}.E3 est le cercle  de diamètre [AB] privé des points A et  B.

2) TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DU PLAN
a) Transformations du plan

L’application du plan P dans P qui à tout point de P fait correspondre son affixe est une bijection ; on dit que la transformation F : \begin{matrix} P \rightarrow P \\ M(z) \mapsto M'(z') \end{matrix}  a pour bijection complexe associé f : \begin{matrix} C \rightarrow C \\ z \mapsto z \end{matrix} et pour écriture complexe z’ = f(z).

b) Transformations élémentaires du plan

  • Symétries

La symétrie d’axe (OI) a pour écriture complexe z’ = \overline{z}
La symétrie de centre O a pour écriture complexe z’ = – z
La symétrie d’axe (OJ) a pour écriture complexe z’ = –\overline{z}
La symétrie de centre Ω(z0) a pour écriture complexe z’ – z0 = – (z – z0)

  • Translation

Soit a un nombre complexe donné de vecteur-image \overrightarrow{u}. A la fonction de C dans C qui à z associe z’ = z + a correspond la fonction de P dans P qui au point M(z) associe le point M’(z’).

L’application qui à M associe M’ est donc la translation de vecteur \overrightarrow{u}.
La translation de vecteur \overrightarrow{u} d’affixe a a pour écriture complexe z’ = z + a.

Exercice d’application :
Soit A, B et C trois points d’affixes respectives – 1, 2i et 2 ; soit A’, B’ et C’ trois points d’affixes respectives 2 – i, 3 + i, 5 – i. Montrer que le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une translation qu’on caractérisera.

Réponse :
zA’ = zA + (3 – i) ; zB’ = zB + (3 – i) ; zC’ = zC + (3 – i) ; c’est donc la translation de vecteur \overrightarrow{u} d’affixe 3 – i.

  • Rotation

Soit M(z), Ω(ω) et M’(z’).
M’ est l’image de M par la rotation de centre Ω et d’angle α signifie que :