Exercices – Nombres complexes – Tle S

Exercice 1

On donne z~=3 + i \sqrt 3 ~ et ~ z’ = 1 + 2i .
 Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
z_1 = z – \={z}~’ ;
z_2 = z\={z} ;
z_3 = z^2 ;
z_4 = (z’)^3 ;
z_5 = \dfrac{z}{z’}

Exercice 2

A quelle condition le nombre complexe z = x + 2 + i (-ix + x) + 2i – 5ix ~ est – il un réel ? Un imaginaire pur ?

Exercice 3

1- Soient les complexes z_1 = \dfrac{-\sqrt{6}+ i\sqrt{2}}{2} ~ et ~ z_2 = 2 +2i .
a) Mettre sous forme trigonométrique z_1 , ~ z_2, ~ z= \dfrac{z_1}{z_2} ,
b) Ecrire z sous forme algébrique
c) Montrez que : \cos \dfrac{7 \pi}{12 } = \dfrac{-\sqrt{6}+ i\sqrt{2}}{2} et ~\sin \dfrac{7 \pi}{12 } = \dfrac{\sqrt{6}+ i\sqrt{2}}{2}
2- Résoudre dans \R l’équation
( -\sqrt 6 ~+ ~ \sqrt 2 ) ~\cos x ~+~ ( \sqrt 6 ~+ ~ \sqrt 2 )\ sin ~ x = ~-2 .

Exercice 4

Soit les nombres complexes :
z_1 = 1 ~+ ~i ~~et ~ z_2= ~1 ~+ \sqrt 3 i

  1. Déterminer |z_1| ~ et ~| z_2|
  2. Déterminer : arg ~ \lgroup ~ z_1 ~ \rgroup ~ et ~ arg ~ \lgroup ~ z_2 ~ \rgroup
  3. En déduire le module et un argument des nombres complexes suivants :
    z_3 ~ = ~ (1~ +~i) (~1+i \sqrt 3~) ~ ; z_4 ~= ~\dfrac{~1+i}{~1+i~ \sqrt 3} ; z_5 = (~1+i)^7

Exercice 5

Calculer z = \left({ \dfrac{\sqrt 3}{2} + \dfrac{1}{2}i }\right)^{2001}

Exercice 6

a) Résoudre dans \cnums l’équation :
z^2 – 2z + 2 = 0
b) Ecrire les solutions  sous forme exponentielle.
c) En déduire les solutions dans \cnums de l’équation :
(-iz+3i+3)^2 -2(-iz+3i+3)+2=0

Exercice 7

On considère le polynôme
P(z) = z^3 + (5i-6)z^2 + (9-4i)z + 13i+ 18?

  1. Montrer que l’équation P(z)= 0 admet une racine imaginaire pure z_0 que l’on calculera.
  2. Déterminer le polynôme q (z) tel que P(z)= (z-z_0)q(z)
  3. Résoudre dans \cnums l’équation P(z) = 0

Exercice 8

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; \vec{u},\vec{v}) . On prendra 1 cm pour unité graphique. Les questions suivantes sont indépendantes.
1) Résoudre dans \cnums l’ensemble  des nombres complexes, l’équation \={z} -3iz-3+6i=0,~\={z} étant conjugué de z
2) On considère le point A d’affixe 4-2i . Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point B tel que OAB soit un triangle équilatéral de sens direct.
3) Soit le point D d’affixe 2i .
a) Représenter l’ensemble \lgroup E \rgroup des points M d’affixe z différente de 2i tels que :
arg \lgroup z-2i \rgroup = \dfrac{\pi}{4} + 2 k\pi ~ avec k \in \Z
b) Représenter l’ensemble \lgroup F \rgroup des points M d’affixe z tels que z=2i+2e^{i\theta}, \theta \in \R
4. A tout point M d’affixe z {=}\mathllap{/\,} -2 , on associe le M’ d’affixe Z’ telle que z’ = \dfrac{z-1}{z+2} .
Determiner l’ensemble des points M tels que |z’| = 1.

Exercice 9

Dans le plan complexe muni du repère  orthonormal (O; \vec{u},\vec{v}) , on considère les points M et M’ d’affixes respectives z et z’. On pose z= x+ iy ~ et ~ z’ = x’ + iy’ , où ~ x, x’, y, y’ sont des nombres réels.
On rappelle que \bar{z}~ désigne le conjugué de z et que |z| désigne le module de z

  1. Montrer que les vecteurs \overrightarrow{OM}~ et ~\overrightarrow{OM’} ~ sont orthogonaux si et seulement si Re (z’ \bar{z}) = 0 .
  2. Montrer que les points O, M et M’ sont alignés si et seulement si Im (z’ \bar{z}) = 0 .
  3. N est le point d’affixe z^2 -1, quel est l’ensemble des points M tels que les vecteurs \overrightarrow{OM}~ et ~\overrightarrow{ON} ~ soient orthogonaux ?
  4. On suppose z non nul. P est le point d’affixe \dfrac{1}{z^2} -1. On recherche l’ensemble des points M d’affixe z tels que les points O, N et P soient alignés.
    a) Montrer que \lgroup \dfrac{1}{z^2} -1 \rgroup (\overline{z^2 -1}) = ~-z^{-2} |\dfrac {1}{z^2} -1 |^2.
    b) En utilisant l’équivalence démontrée au début de l’exercice, conclure sur l’ensemble recherché.

Exercice 10

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal (O; \vec{u},\vec{v}) . Unité graphique : 2 cm.

  1. On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, ~ a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2).
    Résoudre dans l’ensemble \cnums  des nombres complexes l’équation z^3 = 8
  2. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c définies par :
    b=-1+\sqrt{3}~ et ~c=-1-i\sqrt{3}
    On appelle r la rotation de centre A et d’angle \dfrac {\pi}{2} et r’ la rotation de centre A et d’angle – \dfrac {\pi}{2}.
    On pose B’ = r'(B) ~ et ~ C ‘ = r(C)~ et on note b’ et ~c’ les affixes respectifs de B’ et C’.
    a) Placer les points A, B et C dans le repère (O; \vec{u},\vec{v}) . Dans la suite de l’exercice, on complètera cette figure.
    b) Montrer que: b’= 2+\sqrt 3 +3i.
    c) Montrer que b’ et c’ sont des nombres conjugués.
  3. On appelle M, N, P et Q les milieux respectifs des segments \lbrack CB \rbrack , \lbrack BB’ \rbrack , \lbrack B’ C’ \rbrack . et \lbrack C’C \rbrack . On note m, n, p et q leurs affixes.
    a) Montrer que l’affixe n du point N est égale à \dfrac {1+\sqrt3}{2} (1+i\sqrt 3). En déduire que les points O, N et C sont alignés.
    b) Montrer que n+1 =i(q+1). Que peut-on en déduire pour le triangle MNQ ?
    c) Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré.

Exercice 11

Dans l’ensemble   \cnums des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d’argument \dfrac{\pi}{2}.
1) Montrer que (1+i)^6 = -8i.
2) On considère l’équation (E) : z^2 = -8i .
a) Déduire de 1. une solution de l’équation (E).
b) L’équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique.
3) Déduire également de 1. une solution de (E) : z^3 = -8i
4) On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle \dfrac{2\pi}{3}.
a) Déterminer l’affixe b du point B, image de A par r, ainsi que l’affixe c du point C, image de B par r.
b) Montrer que b et c sont solutions de (E’).
5)a. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (O; \vec{u},\vec{v}) (unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C.
b) Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ?
c) Déterminer le centre de gravité de cette figure.

Exercice 12

On considère le polynôme P défini par : P(z) = z^4 -6z^3 +24z^2 -18z +63 .

  1. Calculer P(i\sqrt3)~ et ~P(-i \sqrt 3) puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout z \in \cnums , on ait P(z) = (z^2 +3)Q(z).
  2. Résoudre dans \cnums l’équation P(z)=0.
  3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O; \vec{u},\vec{v}), les points A, B, C, D d’affixes respectives z_A= i\sqrt3, ~z_B = -i\sqrt3, ~ z_C= 3+2i\sqrt3, ~ et z_D=\overline{z_c}, puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.
  4. On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que \dfrac{z_C- z_B}{z_E-z_B}= e^{-i\dfrac{\pi}{3}}, puis déterminer la nature du triangle BEC.

Exercice 13

Partie A
1) z1 et z2 sont des nombres complexes ; résoudre le système d’équations suivant \begin{cases} z_1 \sqrt 3-z_2 =-2 \\ z_1 -z_2\sqrt 3= -2i\end{cases}
2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct de centre O, d’unité graphique 4 cm, on considère les points A et B d’affixes respectives : z_A = -\sqrt3 +i ~et ~ z_B= -1+i\sqrt3 .
Donner les écritures de zA et zB sous forme exponentielle. Placer les points A et B.
3) calculer le module et argument de \dfrac {z_A} {z_B}.
En déduire la nature du triangle ABO et une mesure de l’angle \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} .
4) Déterminer l’affixe du point C tel que ACBO soit un losange. Placer C. Calculer l’aire du triangle ABC en cm2.

Partie B
Soit f la transformation qui à tout point M d’affixe z associe le point M’d’affixe z’ telle que: z’= e^{-i\dfrac{\pi}{6}} .z.

  1. Définir cette transformation et donner ses éléments caractéristiques.
  2. Quelles sont, sous forme exponentielle, les affixes de A’, B’ et C’images par f de A, B et C ?
  3. Quelle est l’aire du triangle ABC’’en cm2 ?

Exercice 14

On considère dans \cnums l’équation du second degré  Z^2 + Z + 1 = 0.

  1. Résoudre cette équation. On note les solutions z1 et z2, la partie imaginaire de z1 étant positive.
  2. Vérifier que z_2= z_1^2.
  3. Mettre z1 et z2 sous forme trigonométrique.
  4. Indiquer sur quel cercle de centre O sont situés les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2. Placer alors ces points avec précision dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 4 cm.

Exercice 15

On désigne par P le plan complexe. Unité graphique : 2 cm.

  1. Résoudre l’équation d’inconnue complexe z: z^2 -2z+4=0 . On notera z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et z2 l’autre. Donner le module et l’argument de chacun des nombres z_1, z_2, z_1^2, z_2^2, Ecrire sous forme algébrique z_1^2~et~ z_2^2.
  2. On considère dans le plan les points A(1+i\sqrt3 ), ~ B(1- i\sqrt3 ), C(-2+2i\sqrt3) ~et ~ D(-2+2i\sqrt3).
    a)Représenter les points A, B, C et D dans le plan P. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
    b)Montrer que les points O, A et D d’une part et les points O, B et C d’autre part sont alignés. Quel est le point d’intersection des diagonales de ABCD ?
    c) Quelles sont les affixes des vecteurs \overrightarrow{AB} ~et ~ \overrightarrow{AC}~?
    Montrer que les droites ( AB) et ( AC) sont perpendiculaires.

Exercice 16

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O; \vec{u},\vec{v}) .
On appelle A, B et C les points d’affixes respectives z_A = – 1 + 3i et z_B = – 2 et z_c = -\dfrac{3-3i}{2}.
Soit f l’application du plan privé de A dans le plan qui, à tout point M d’affixe z distincte de zA, associe le point M’ d’affixe z’ définie par : z’= \dfrac{z+2}{z+1+3i}.

  1. Factoriser z² – 3iz – 2 en remarquant que z = i en est une solution, puis résoudre l’équation : (E): z^2- 3iz-2=0.
  2. Déterminer les affixes des points invariants par f. (Un point est invariant lorsque z = z’ ).
  3. Déterminer l’ensemble des points M tels que M ’ appartienne au cercle de centre O de rayon 1.
  4. En posant z=x+iy,~ déterminer Im(z’) en fonction de x et y. En déduire l’ensemble des points M tels que M’ appartienne à l’axe des abscisses.
  5. a) Montrer que pour tout z différent de –1 + 3i on a l’équivalence suivante :
    \dfrac{z+2}{z+1-3i}= – \dfrac{\={z}+2}{\={z}+1+3i} \Leftrightarrow (z-z_C)(\overline{z-z_C})=\dfrac{5}{2}
    b) En déduire l’ensemble des points M tels que M’ ait une affixe imaginaire pure (on peut répondre à la question b en admettant le résultat de la question a)

Exercice 17

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O; \vec{u},\vec{v}), on considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :
z’ = z^2 -4z.
1) Soient A et B les points d’affixes z_A = 1-i ~et~z_B=3+i .
a) Calculer les affixes des points A’ et B’ images des points A et B par f.
b) On suppose que deux points ont la même image par f. Démontrer qu’ils sont confondus ou que l’un est l’image de l’autre par une symétrie centrale que l’on précisera.
2) Soit I le point d’affixe −3.
a) Démontrer que OMIM ’ est un parallélogramme si et seulement si z^2 -3z+3=0.
b)Résoudre l’équation z^2 -3z +3=0.
3)a. Exprimer (z’+4) en fonction de (z-2) En déduire une relation entre |z’+4| ~et~ |z-2| ~puis entre ~arg(z’+4)~ et ~ arg(z-2).
b) On considère les points J et K d’affixes respectives z_J = 2 ~et~ z_K=-4 . Démontrer que tous les points M du cercle (C) de centre J et de rayon 2 ont leur image M’ sur un cercle que l’on déterminera.
c) Soit E le point d’affixe z_E = -4-3i. Donner la forme trigonométrique de z_E+4 et démontrer à l’aide du 3. a. qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E. Préciser sous forme algébrique les affixes de ces deux points.

Exercice 18

Soit P le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O; \vec{u},\vec{v}) (unité graphique : 2 cm). Pour tout complexe z on considère dans P les points M d’affixe z, N d’affixe z^2  et Q d’affixe z^3 .

  1. Déterminer les nombres complexes z  pour lesquels deux au moins de ces trois points , M, N et Q sont confondus.
  2. Dans ce qui suit on supposera M, N et Q deux à deux distincts. Exprimer les distances MN et MQ en fonction de z. Déterminer et construire dans P l’ensemble E des points M tels que MN = MQ.
  3. Montrer que l’angle (\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MQ})  a pour mesure un argument de + 1. Déterminer et construire l’ensemble F des points M tels que le triangle MNQ soit rectangle en M.
  4. Dans cette question = −1 − i.
    Calculer les affixes de N et Q et construire le triangle MNQ dans le plan P. Que peut on constater ? Expliquer ce résultat à partir des questions 2. et 3.

Exercice 19

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; \vec{u},\vec{v}) (unité graphique : 4 cm).
On donne les points A et B d’affixes respectives 1 et \dfrac{1}{2} -i\dfrac{\sqrt3}{2}.
Pour chaque point M du plan, d’affixe z, on désigne par M_1d’affixe z_1 , l’image M de par la rotation de centre O et d’angle \dfrac{\pi}{3}, puis par M’ , d’affixe Z’ , l’image de M_1 par la translation de vecteur – \vec{u}.
On note T la transformation qui, à chaque point M, associe le point M ‘.
1. a) Démontrer que z’ =e^{-i\dfrac{\pi}{3}}. z-1 .
b) Déterminer l’image du point B.
c) Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l’affixe.
2) On pose z=x+iy ~ avec x et y réels.
a) On prend z \mathrlap{\,/}{=} 0; calculer la partie réelle du quotient \dfrac{z’}{z}~ en fonction de x et de y.
b) Démontrer que l’ensemble (\varGamma )~des points du plan, tels que le triangle OMM’’ soit rectangle en O, est un cercle dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer (\varGamma )~.
3)  Dans cette question, on pose z= i+1.
a) Vérifier que M \in (\varGamma) ~ et placer M et M’’sur la figure.
b) Calculer |z’| et l’aire du triangle OMM’’ en cm².

Exercice 20

1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation ; z^2 -2z+2=0.
2) Soit K, L, M les points d’affixes respectives z_K = 1 + i; ~ z_L =1 -i ; ~z_M=-i\sqrt3.
Placer ces points dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O; \vec{e_1} , \vec{e_2}) ~. (Unité graphique : 4 cm).
On complétera la figure dans les questions suivantes.
3) a. N est le symétrique du point M par rapport au point L.
Vérifier que l’affixe z_N ~ du point N est : 2 + i(\sqrt3 -2).
b. La rotation de centre O et d’angle \dfrac {\pi}{2}~ transforme le point M en le point A et le point N en le point C.
Déterminer les affixes respectives z_A ~et ~ z_C ~ des points A et C.
c. La translation de vecteur \vec{u}~ d’affixe 2i transforme le point M en le point D et le point N en le point B.
Déterminer les affixes respectives z_D ~et ~ z_B ~ des points D et B.
4.a. Montrer que le point K est le milieu des segments \lgroup DB \rgroup ~ et \lgroup AC \rgroup .
b. Montrer que : \dfrac{z_C – z_K}{z_B – z_K} =i.
c. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Exercice 21

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O; \vec{u},\vec{v}) . Pour tout point P, on convient de noter z_P ~ son affixe.
1) On considère dans \cnums ~ l’équation (E): z^3+8=0.
a. Déterminer les réels a, b, c tels que z^3 +8 = (z+2)(az+bz+c)~ pour tout complexe z.
b. Résoudre l’équation (E) (on donnera les solutions sous forme algébrique x+iy).
c. Ecrire ces solutions sous la forme re^{i\theta}~, où r est un réel positif.
2) On considère les points A, B et C d’affixes respectives -2, 1-i\sqrt3 ~et~ 1+i\sqrt3~, le point D milieu de \lgroup OB \rgroup ~ et la rotation R de centre O et d’angle \dfrac{2\pi}{3}.
a. Montrer que R(A) =B, R(B)=C et R(C)=A . En déduire que le triangle ABC est équilatéral. Placer A, B et C dans le plan.
b. On considère le point L défini par \overrightarrow{AL}~et ~\overrightarrow{OD}~,Déterminer son affixe z_L. Déterminer un argument de \dfrac{z_L}{z_D}~. En déduire que le vecteur \overrightarrow{OL} ~ est orthogonal au vecteur \overrightarrow{OD} ~ et au vecteur \overrightarrow{AL} ~.
c. Montrer que L est sur le cercle de diamètre \lbrack AO \rbrack~ . Placer L sur la figure.

Exercice 22

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; \vec{u},\vec{v})~ (unité graphique 1 cm).
On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’inconnue z suivante :
z^3 + (8+i)z^2 + (17-8i)z+17i=0~.
I. Résolution de l’équation (E).
1) Montrer que −i est solution de (E).
2) Déterminer les nombres réels a, b, c tels que :
z^3 +(-8+i)z^2+ (17-8i)z+17i = (z+1)(az^2 + bz+c) .
3) Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.
II. On appelle A, B et C les points d’affixes respectives 4+i, ~4-i, ~-i.~
1) Placer les points sur une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice.
2) Le point \varOmega ~ est le point d’affixe 2. On appelle S l’image de A par la rotation de centre \varOmega ~ et d’angle de mesure \dfrac{\pi}{2} ~. Calculer l’affixe de S.
3) Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle (C)dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer (C).
4) À tout point M d’affixe z \ne 2 ~, on associe le point M’ d’affixe z’=\dfrac{iz+10-2i}{z-2}.
a. Déterminer les affixes des points A’, B’, C’ associés respectivement aux points A, B et C.
b. Vérifier que A’, B’, C’ appartiennent à un cercle (C’)de centre P, d’affixe i. Déterminer son rayon et tracer (C’).
c. Pour tout nombre complexe z\ne 2 ~ , exprimer |z’-i|~ en fonction de z.
d. Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle (C). Démontrer que |z’-i|= 2\sqrt5~.
e. En déduire à quel ensemble appartiennent les points M’ associés aux points M du cercle (C).

Exercice 23

On considère le nombre complexe a=e^{i\dfrac{2\pi}{5}}~. On note I, A, B, C, D les points du plan complexe d’affixes 1 , a, a2, a3, a4.

  1. Vérifier que a5 = 1.
  2. Montrer que IA = AB = BC = CD = DI.
  3. Vérifier que, pour tout z complexe :
    z^5 -1= (z-1)(1+z+z^2+z^3+z^4).
  4. En déduire que 1 + a + a2 + a3 + a4 = 0.
  5. Montrer que a^3 = \={a}^2 ~ et que a^4= \={a}.
  6. En déduire que (a+ \={a})^2 +(a+\={a}) -1=0.
  7. Résoudre, dans \cnums~ , l’équation 4x2 + 2x – 1 = 0.
  8. Calculer (a+\={a}) ~ et déduire la valeur exacte de \cos \lparen \dfrac{2\pi}{5} \rparen .
  9. Placer les points I, A, B, C et D dans le plan complexe (unité 4 cm).

Exercice 24

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) : z^3 +2z^2 -16=0.
1.a. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme (z-2)(az^2+bz+c)=0 ~a, b, c sont trois réels que l’on déterminera
b. En déduire les solutions de (E) sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; \vec{u},\vec{v})~
2.a. Placer les points A, B et D d’affixes respectives z_A= -2-2i, ~z_B=2 ~et~ z_D= -2+2i.
b. Calculer l‘affixe z_C ~ du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
3. Soit E l’image du point C par la rotation de centre B et d’angle -\dfrac{\pi}{2}, et F l’image du point C par la rotation de centre D et d’angle \dfrac{\pi}{2}.
a. Calculer les affixes z_E ~ et~z_F des points E et F.
b. Placer les points E et F.
4.a Vérifier que \dfrac{z_F – z_A}{z_E – z_A}=i.~
b. En déduire la nature du triangle AEF.
c. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l‘image du triangle EBA par la rotation de centre I et d’angle -\dfrac{\pi}{2}.

Exercice 25

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; \vec{u},\vec{v})~. Unité graphique : 3 cm.
À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M’ d’affixe z’ par l’application f qui admet pour écriture complexe : z’ = \dfrac{(3+4i)z + 5\={z}}{6}.

  1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives z_A =1+2i, ~ z_B = 1 ~ et~ z_C=3i~. Déterminer les affixes des points A’, B’, C’ images respectives de A, B, C par f. Placer les points A, B, C, A’, B’, C’.
  2. On pose z = x + iy (avec x et y réels). Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z’ en fonction de x et y.
  3. Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation y=\dfrac{1}{2} x~. Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?
  4. Soit M un point quelconque du plan et M’ son image par f. Montrer que M’ appartient à la droite (D).
  5. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z : \dfrac{z’-z}{z_A} = \dfrac{z+ \={z}}{6} +i\dfrac{z-\={z}}{3}~. En déduire que le nombre \dfrac {z’-z}{z_A} ~ est réel.
    b. En déduire que, si M’ \mathrlap{\,/}{=} M~ , les droites (OA) et (MM’) sont parallèles.
  6. Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N’ ? (on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)). Effectuer la construction sur la figure.

Exercice 26

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal (O; \vec{u},\vec{v})~ On désigne par I le point d’affixe z_1 =1 ~, par A le point d’affixe z_A = 1-2i ~ , par B le point d’affixe -2+2i~ et par (C) le cercle de diamètre [AB].
On fera une figure que l’on complètera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm.
1) Déterminer le centre~\varOmega ~ du cercle (C) et calculer son rayon.
2) Soit D le point d’affixe z_D = \dfrac{3+9i}{4+2i}. Ecrire z_D ~ sous forme algébrique puis démontrer que D est un point du cercle (C).
3) Sur le cercle (C), on considère le point E, d’affixe z_E, ~tel qu’une mesure en radians de (\overrightarrow{\varOmega I},~\overrightarrow{\varOmega E}) ~ est ~ \dfrac{\pi}{4} .
a. Préciser le module et un argument de z_E+\dfrac{1}{2}.
b. En déduire que z_E = \dfrac{5 \sqrt 2 +2 } {4} + \dfrac {5\sqrt2}{4}i.
4. Soit r l’application du plan P dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que z’ +\dfrac {1}{2} = e^{i\dfrac{\pi}{4}} (z+ \dfrac{1}{2}).
a. Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques.
b. Soit K le point d’affixe z_K =2 ~. Déterminer par le calcul l’image de K par r. Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat.

Exercice 27

On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (O; \vec{u},\vec{v})~. Dans tout l’exercice, \O désigne le plan P privé du point origine O.
1) Question de cours.
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
– Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(ZZ’) = arg(Z) + arg (Z’)~ à 2k \pi~ près, avec k entier relatif.
– Pour tout vecteur \vec{w} non nul d’affixe z on a : arg(Z)= (\vec{u}, \vec{w}) ~à ~ 2k\pi~, près, avec k entier relatif.
a. Soit z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que arg (\dfrac{z}{z’}) = arg(z)- arg (z’) ~à~ 2k\pi~près, avec k entier relatif.
b. Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c, on a : arg (\dfrac{c-a}{b-a})= ( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} )~ à ~ 2k\pi~ près, avec k entier relatif.
2. On considère l’application f de \O dans \O qui, au point M du plan d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ définie par : z’ =\dfrac{1}{z}. On appelle U et V les points du plan d’affixes respectives 1 et i.
a. Démontrer que pour ~ z’ \mathrlap{\,/}{=} 0~ , on a arg(z’)=arg (z) ~à ~ 2k\pi~ près, avec k entier relatif. En déduire que, pour tout point M de \O les points M et M’ = f(M) appartiennent à une même demi-droite d’origine O.
b. Déterminer l’ensemble des points M de P \O tels que f(M= M.
c. M est un point du plan P distinct de O, U et V, on admet que M ‘ est aussi distinct de O, U et V.
Établir l’égalité :\dfrac {z’-1}{z’-i}= \dfrac{1}{i}(\dfrac{\={z}-1}{\={z}+i})=-i(\dfrac{\overline{z-1}}{z-i}).
En déduire une relation entre arg \lgroup \dfrac{z’-1}{z’-i} \rgroup~ et arg \lgroup \dfrac{z-1}{z-i}~.
3.a. Soit z un nombre complexe tel que z \mathrlap{\,/}{=} 1 ~et ~ z \mathrlap{\,/}{=} i~ et soit M le point d’affixe z.
Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si \dfrac{z-1}{z-i}~ est un nombre réel non nul.
b. Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée de U et de V.

Exercice 28

Linéariser le polynôme P = \cos^2 5x\sin3x.

Exercice 29

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O; \vec{u},\vec{v})~ , on considère les points A(1) et B(2). Soit un réel \theta appartenant à ]0; \pi[ . On note P le point d’affixe z_P = 1+e^{2i \theta},

  1. Montrer que le point P appartient au cercle (C) de centre A et de rayon 1.
  2. Exprimer l’angle (\overrightarrow{AB}; ~\overrightarrow{AP}) En fonction de 0.
    En déduire l’ensemble (E) des points P quand \theta décrit l’intervalle ]0; \pi[ ~.
  3. On appelle P ’ l’image de P par la rotation de centre O et d’angle – 2 \theta ~ et on note Z_P’ ~ l’affixe de P’ .
    Montrer que z_{P’} = \={z}_p, puis que P ’ appartient au cercle (C).
  4. Dans toute la suite on prend \theta = \dfrac{\pi}{3}.
    On appelle r la rotation de centre O et d’angle – \dfrac{2 \pi}{3} ~ et A’ l’image de A par r.
    a. Définir l’image (C’) du cercle (C) par r.
    b. Déterminer les affixes de P et de P ’ image de P par r.
    c. Placer sur une figure A, B, (C), P, (C’) et P ’.
    d. Démontrer que le triangle AMO est équilatéral.
    e. Soit le point Q symétrique de P par rapport à A. Montrer que P ’ est le milieu de [A’Q].

Exercice 30

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O; \vec{u},\vec{v})~, (unité graphique 2 cm), on considère les points A, B, C d’affixes respectives a=2; b=1-i ~ et~c= 1+i~.
1.a. Mettre les affixes des points A, B et C sous forme trigonométrique. Les placer sur la figure.
b. Calculer \dfrac{c-a}{b-a}~, En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.
2.a. On appelle r la rotation de centre A telle que r(B)=C. Déterminer l’angle de r et calculer l’affixe du point D image de C par r.
b. Soit (\varGamma~ ) ~ le cercle de diamètre [BC].
Déterminer et construire l’image (\varGamma~ ‘) ~ du cercle (\varGamma~ ) ~ par la rotation r.
3. Soit M un point de (\varGamma~ ) ~ d’affixe z, distinct de C et M ‘ d’affixe z ‘ son image par r.
a. Montrer qu’il existe un réel \theta appartenant à [0; \dfrac{\pi}{2}[ \cup ]\dfrac{\pi}{2}; 2\pi]~ tel que z=1+e^{i\theta}.
b. Exprimer z ‘ en fonction de \theta.
c. Montrer que \dfrac{z’-c}{z-c}~est un réel. En déduire que les points C, M et M ‘sont alignés.
d. Placer sur la figure le point M d’affixe z = 1+e^{i\dfrac {2\pi}{3}}~ et construire son image par la rotation r.

Exercice 31

Le plan complexe P est rapporté au repère  orthonormé direct (O; \vec{u},\vec{v})~ (unité graphique : 3 cm).
On désigne par A le point d’affixe i. Une transformation f associe à tout point M du plan, distinct de A, d’affixe z, le point M’ d’affixe z ‘ défini par : z’= \dfrac{z^2}{i-z}~.
1) Déterminer les points M confondus avec leur image M ‘ .
2) Etant donné un complexe z distinct de i, on pose z = x +iy ~ et ~ z’ = x’+iy’, ~ avec ~x. y, x’, y’ réels. 
a. Montrer que x’= \dfrac{-x(x^2+y^2-2y)}{x^2 +(1-y)^2}
b. En déduire l’ensemble E des points M dont l’image M ‘ est située sur l’axe des imaginaires purs .
Dessiner  l’ensemble E.
3. Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM ‘. En déduire l’ensemble F des points M du plan tels que M et M ‘ soient situés sur un même cercle de centre O.
Dessiner l’ensemble F.