2) Généralité sur les fonctions – Tle S

Ce qu’il faut savoir

Si f est une fonction, nous noterons Dson ensemble de définition et (Cf) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal (O ; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j})

(1)Ensemble définition de

(2) Courbe de f

(3) Parité et élément de symétrie pour (Cf)

Fonction paire : f est paire si pour tout x \in D_f, -x \in D_f et f(x) = f(-x)
Fonction impaire : f est impaire si pour tout x \in D_f, -x \in D_f et f(-x) = -f(x)
Elément de symétrie :
-Si f est paire alors l’axe (O ; \overrightarrow{j}) est un axe de symétrie pour (Cf)
-Si f est impaire alors l’origine O du repère est un centre de symétrie pour (Cf)

(4)  Centre de symétrie –Axe de symétrie

Centre de symétrie : le point I(a; b) est un centre de symétrie pour (Cf) si pour tout x \in D_f, 2a-x \in D_f et f(2a-x) + f(x) = 2b
Axe de symétrie : la droite d’équation x=a est un axe de symétrie pour (Cf) si pour tout x \in D_f, 2a-x \in D_f et f(2a-x) = f(x)

(5) Courbes associées à (Cf)
Si  est la fonction définie par :
g(x) = -f(x) alors (Cg) s’obtient à partir de (Cf) par symétrie d’axe (O ; \overrightarrow{i}) 

g(x) = -f(x) alors (Cg) s’obtient à partir de (Cf) par symétrie d’axe (O ; \overrightarrow{j}). (C_g) = S_{(O ; \overrightarrow{j})}(C_f)

g(x) = f(x-a) + b; (a; b) \in \R \times \R  alors: (Cg) s’obtient à partir de (Cf) par la translation de vecteur a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j}. (C_g) = t_{a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j}}(C_f)

(6) Périodicité

Définition : f est périodique de période T \in \R_+^* si pour tout

Exemples : x \mapsto cosx et x \mapsto sinx sont périodiques de période 2\pi
x \mapsto tanx est périodique de période \pi
Ensemble d’étude : si f est périodique de période T alors il faut étudier f sur [0; T] ou sur [-\dfrac{T}{2} ; \dfrac{T}{2}]

Propriétés
-Si f est une fonction périodique de période T alors
x \mapsto f(ax+b) est périodique de période \dfrac{T}{|a|}

Exemples :
x \mapsto cos(ax+b) et x \mapsto sin(ax+b) sont périodique de période \dfrac{2\pi}{|a|}
x \mapsto tan(ax+b)est périodique de période \dfrac{\pi}{|a|}

-Si f et g sont périodiques de périodes respectives T1  et T2 alors pour tous réels \alpha et \beta : \alpha f + \beta g, fg et \dfrac{f}{g}(g \ne 0) sont périodiques de période T=ppcm(T_1; T_2)

LIMITES ET ASYMPTOTES

LIMITES ET BRANCHES INFINIES

Soit f une fonction telle que \lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty et soit a et b deux réels tels que (a \ne 0).
(1) Si \lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} = \infty alors (Cf) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
(2) Si \lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} = 0 alors (Cf) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
(3) Si \lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} = a et \lim\limits_{x \to \infty} [f(x) -ax] = \infty alors (Cf) admet une branche parabolique de direction la droite (∆) : y=ax
(4) si \lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} = a et \lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - ax] = b alors (Cf) admet une asymptote oblique (D) d’équation y=ax+b

LIMITES ET CONTINUITE

(1) Définitions
– On dit que f est continue en x_0 \in D_f si \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
– On dit que f est continue sur un intervalle I \subset D_f si f est continue en tout x_0 \in I

(2) Continuité à gauche – Continuité à droite

(3) Calcul de f(I)
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors f(I) est un intervalle de même nature que I

(4) Bijection continue
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors :
f réalise une bijection de I sur J = f(I)
f admet une bijection réciproque f^{-1}  de J sur I telle que :

  • \forall ~~x \in I ; f(x] = y \Leftrightarrow f^{-1}(y) = x
  • f et f^{-1} ont le même sens de variation
  • dans un repère orthogonal (C_f) et (C_{f^{-1}}) sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x
  • pour tout réel m \in J; l’équation f(x) = m admet une unique solution x_0 dans I.

(5) Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est  continue et strictement monotone sur ]a; b[ (ou [a; b]) tel que f(a) \times f(b) < 0 alors l’équation f(x) = 0 admet une unique solution x_0 dans I.

LIMITE ET DERIVATION

(1) Dérivabilité en x_0:

alors f est dérivable en x_0.
Le réel l est le nombre dérivé de f en x_0 noté f'(x_0) = l

(2) Notion de tangentes
Si f est dérivable en x_0 alors la tangente (T) à (Cf) au point de coordonnées (x_0 ; f(x_0)) a pour coefficient directeur f'(x_0) et pour équation :
(T) : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

(3)Dérivabilité à gauche-Dérivabilité à droite :
– Si \lim\limits_{x \to x_{0^-}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = l_1 alors f est dérivable à gauche en x_0 de nombre dérivé l_1 = f'_g(x_0)
– Si \lim\limits_{x \to x_{0^+}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = l_2 alors f est dérivable à droite en x_0 de nombre dérivé l_2 = f'_d(x_0)
-Si l_1 = l_2 alors f est dérivable en x_0

(4) Notion de demi-tangentes :
– Si l_1 \ne l_2 alors f n’est pas dérivable en x_0 mais au point de coordonnées (x_0 ; f(x_0)), (C_f) admet deux demi-tangentes :

Le point de coordonnées (x_0 ; f(x_0)) est un point anguleux pour (C_f)
-Si \lim\limits_{x \to x_{0}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \infty alors f n’est pas dérivable en x_0 mais au point de coordonnées (x_0 ; f(x_0)), (C_f),  admet une demi-tangente verticale.

CALCUL DES FONCTIONS DERIVEES

Les formules suivantes peuvent servir pour calculer des dérivées sur des intervalles convenables

(1) Fonctions dérivées usuelles

(2)Opération sur les dérivées

3)Applications du calcul des dérivées

Dérivées et sens de variation
Soit f une fonction  dérivable sur u  intervalle I de fonction dérivée f'.
– Si \forall ~x \in I, f'(x) > 0 alors f est strictement croissante sur I.
– Si \forall ~x \in I, f'(x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I.
– Si \forall ~x \in I, f'(x) = 0 alors f est constante sur I.

Dérivées et extrémums
Soit f une fonction  dérivable sur ]a ; b[ de fonction dérivée f' et x_0 \in ~]a ; b[
-Si f' s’annule en x_0 et change de signe alors f(x_0) est un extrémum de f sur ]a ; b[
En effet :
-Si f décroît sur ]a ; x_0[ et croît sur ]x_0 ; b[ alors pour tout x \in ~]a ; b[, f(x) \geq f(x_0) et f(x_0) est le minimum de f sur ]a ; b[.
-Si f croît sur ]a ; x_0[ et décroît sur ]x_0 ; b[ alors pour tout x \in ~]a ; b[, f(x) \leq f(x_0) et f(x_0) est le maximum de f sur ]a ; b[.

PRIMITIVES

  • Définition : soit une fonction définie sur un intervalle I
    Toute fonction F dérivable sur I telle que pour tout x \in I , F'(x) = f(x) est une primitive de f sur I.
  •  Existence : Toute fonction continue sur I admet une primitive sur I.
    Soit f une fonction continue sur I:
    Si F et G sont deux primitives de f sur I alors pour tout x \in I , F(x) = G(x) + K où K est un réel arbitraire
  •  Unicité : soit f une fonction continue sur I et (x_0 , y_0) \in I \times \R
    Il existe une primitive F de f sur I et une seule telle que F(x_0) = y_0
  •  Primitives usuelles
    Les formules suivantes peuvent servir pour calculer des primitives sur des intervalles convenables :
  • Propriétés
    Soit u une fonction dérivable sur I
  • Cas des polynômes trigonométriques
    Pour déterminer une primitive d’un polynôme trigonométrique qui ne présente aucune des formes ci-dessus, il faut le linéariser en utilisant les formules d’Euler :

On remarquera que : pour tout n \in \N,