Exercices – Généralité sur les fonctions – Tle S

Exercice 1

Déterminer les limites suivantes :

a) \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x>1}} \dfrac{x-4}{1-x^2}~~

b) \lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} \dfrac{x-4}{1-x^2}~

c) ~\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} \sqrt{9x^2+3}-3x

d) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow \tfrac{\pi}{6}}} \dfrac{2\sin (x)-1}{6x-\pi}

e) sachant que 0 \leq f(x)-1 \leq |2\sin 3x| ~ sur l’intervalle ] 1 ; 10[ déterminer \lim\limits_{\substack{x\rightarrow \tfrac{\pi}{3}}}f(x)

Exercice 2

Soit f:~[0;+\infty[ \rightarrow \R \\ x \mapsto \dfrac{x^2}{1+x^2}

  1. Démontrer que f est une bijection de [0;+\infty [ sur un intervalle K que l’on précisera.
  2. Déterminer la bijection réciproque f^{-1}. Quel est le sens de variation de f^{-1}~~?

Exercice 3

a) f(x)=\dfrac{x+1}{(x^2+2x)^3} ;~Déterminer une primitive F de f

Exercice 4

Soit la fonction f, définie par f(x)=(\sin^2 x-3\sin x+8)\cos x
Déterminer sur \R~ la primitive F de f  telle que F(\dfrac{3\pi}{2})=0

Excercice 5

  1. Montrer que :
    x^3+5x^2+7x+4=(x+3)(x^2+2x+1)+1
  2. En déduire une primitive de la fonction f définie par :
    f(x)=\dfrac{x^3+5x^2+7x+4}{x^2+2x+1}~ sur ~]-\infty;1[

Exercice 6

Soit f la fonction numérique définie par : f(x)=x\sqrt{1-x}
1.a) Déterminer l’ensemble de définition de f .
b)  Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Montrer que f est dérivable sur ]-\infty;1[~ et que ~f'(x)=\dfrac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}~Pour tout x<1.
d) Dresser  le tableau de variation de f.
e) Représenter graphiquement la fonction f.

2.a) Montrer que l’équation f(x) =\dfrac{-1}{3\sqrt3}~ admet une seule solution x_1 ~dans~]-\infty;0]~ et que ~ -\dfrac{1}{3}<x_1<0
b) Montrer que l’équation f(x)=\dfrac{1}{3\sqrt3}~ admet exactement deux solutions x_2 ~et~x_3 ~ dans ~[0;1]

3.a) On pose u=\dfrac{3}{2}(x-\dfrac{1}{3}). Montrer que l’équation (E) :|x\sqrt{1-x}|=\dfrac{1}{3\sqrt3} ~ est équivalente à :
(E’): 8u^3-6u-1=0.
b) Pour i = 1, 2, 3, on pose u_i=\dfrac{3}{2}(x_i-\dfrac{1}{3}).~ Montrer qu’il existe un unique réel \theta_i ~de~[0;\pi] ~tel que~ u_i= \cos \theta_i 
c) Prouver que \cos 3\theta= 4\cos^3 \theta- 3\cos\theta ~pour tout ~ \theta~ réel.
(On rappelle que \cos(a+b)=\cos a. \cos b – \sin a. \sin b ~et~\sin 2a = 2sin a. \cos a)
d) Déduire des questions précédentes que (E’) est équivalente à l’équation \cos 3 \theta=\dfrac{1}{2}.~
Résoudre cette équation dans [0; \pi]~ et en déduire les valeurs exactes dex_1,x_2~et x_3

Exercice 7

A. Soit f la fonction définie sur \R –{-2} ~par~f(x)= \dfrac{1-x^2}{2+x}

  1. Pour tout x réel différent de −2, trouver trois réels a, b , c tels que f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+2}
  2. Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal.
  3. . Montrer que si (C) admet un centre de symétrie, alors on peut déterminer son abscisse. Démontrer que (C) admet un centre de symétrie.

B. Soit \varphi~ la fonction définie sur \R ~par~ \varphi(t)=\dfrac{1-\sin^2 t }{2+\sin t}

1) Pour tout réel t, montrer que \varphi(\pi-t)=\varphi(t)~ Expliquer comment l’étude des variations de \varphi ~sur~[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]~permet de construire la courbe représentative de \varphi
2.a) On pose a=\sqrt3 -2.~Justifier l’existence et l’unicité de t_0 \in [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]~ tel que \sin (t_0)=a.
b) En utilisant \varphi~ comme composée de fonctions, étudier les variations de \varphi ~sur~[-\dfrac{\pi}{2};t_0] ~puis sur~ [t_0; \dfrac{\pi}{2}]
c) Soit \varphi ‘ ~ la dérivée de \varphi .~ Pour tout nombre réel t, prouver l’égalité : \varphi ‘(t)=f'(\sin t) \cos t.~.
Retrouver alors les valeurs pour lesquelles \varphi ‘ t ~s’annule sur [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}] .
d) Tracer la courbe représentative de \varphi ~sur [-\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}].

Exercice 8

Partie A

Soit \varphi ~la fonction numérique de la variable réelle x telle que : \varphi (x)=\dfrac{3x^2+ax+b}{x^2+1}.~
Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de \varphi~ soit tangente au point I de coordonnées (0 ; 3) à la droite (T) d’équation y = 4x + 3.

Partie B

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que :
f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}~et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

  1. Montrer que pour tout x réel, on a f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}; \alpha ~et~ \beta~étant deux réels que l’on déterminera.
  2. Etudier les variations de f. Préciser ses limites en l’infini et en donner une interprétation graphique. Dresser le tableau de variations de f.
  3. Déterminer l’équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point I d’abscisse 0. Etudier la position de (C) par rapport à (T).
  4. Démontrer que I est centre de symétrie de (C).
  5. Construire la courbe (C) et la tangente (T) dans le repère proposé.

Exercice 9

On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé R=(O;\vec{i};\vec{j}~) le cercle de \varGamma~de centre O et de rayon 1. Soient les points de \Gamma : A (1 ; 0) et A’(−1 ; 0).

1) Par tout point H du segment [AA’], distinct de A et de A’ on mène la perpendiculaire \Delta à la droite (AA’). La droite \Delta~coupe le cercle \Gamma en M et M’. On pose \overline{OH}=x~Calculer l’aire du triangle AMM’.
2) Soit f la fonction définie sur [-1;1]~ par~f(x)=(1-x)\sqrt{1-x^2}~ et (C) sa courbe représentative dans R (unités graphiques 4 cm).
a) Etudier la dérivabilité de f en −1 et en 1. En déduire les tangentes à (C) aux points d’abscisses −1 et 1.
b) Dresser le tableau de variations de f.
c) Tracer (C).
3) Montrer que le triangle AMM’ d’aire maximale est équilatéral.
4) Discuter graphiquement suivant les valeurs de m réel le nombre de solutions de l’équation f(x)=m
5) On considère la courbe (U) donnée par l’équation y^2-(1-x)^2(1-x^2)=0.~ Montrer que (U) est constituée de deux courbes (C) et (C’) , (C’) étant l’image de (C) par une transformation que l’on précisera.