Dénombrement – 2nde Le

1. Réunion de deux ensembles

Définition

On appelle réunion de deux ensembles A et B l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.
On note : A ∪ B et on lit : « A union B ».
x 𝜖 A∪B signifie que : 𝑥 𝜖 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 𝜖 𝐵.

Exemple
On donne les ensembles A et B suivants : A = {c ; e ; g ; i ; f} et B = {d ; e ; f ; u ; i ; m ; k}.
La réunion des ensembles A et B est : A ∪B = {c ; e ; g ; i ; f ; d ; u ; m ; k }.

Exercice d’application

On donne les ensembles E et F suivants : E = {2 ; 3 ; 7 ; 9 ; 12} et F = {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11}.
Ecris en extension la réunion des ensembles E et F.

Solution

La réunion des ensembles E et F est : E ∪ F = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12}.

2. Intersection de deux ensembles

Définition

On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
On note : 𝐴 ∩ 𝐵 et on lit : « A inter B ».
𝑥 𝜖 𝐴 ∩ 𝐵 signifie que : 𝑥 𝜖 𝐴 𝑒𝑡 𝑥 𝜖 𝐵.

Exemple
On donne les ensembles A et B suivants : A = {c ; e ; g ; i ; f} et B = {d ; e ; f ; u ; i ; m ; k}.
L’intersection des ensembles A et B est : 𝐴 ∩ 𝐵 = {e ; i ; f}.

Cas particulier :
Si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ alors A et B sont dits disjoints

3. Cardinal d’un ensemble fini

Définition

Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre d’éléments de cet ensemble.
On le note : Card(A) et on lit « cardinal de A ».

Exemple
Soit A = {0 ; 5 ; a ; b ; 9 ; r}. On a : Card(A) = 6

Cas particuliers
Le cardinal de l’ensemble vide est 0 : Card(∅) = 0
Un ensemble dont le cardinal est 1 est appelé singleton

Exercice d’application

Relis chaque énoncé de la colonne de gauche au nombre correspondant dans la colonne de droite

Solution

Propriété

On considère deux ensembles finis A et B.
On a: Card(𝐴 ∪ 𝐵) = Card (A) + Card (B) – Card (A∩B).
Cas particulier
Si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ alors Card(𝐴 ∪ 𝐵) = Card(A) + Card(B