Exercices – Vecteurs du plan
Exercice 1
Soit A, B, C, D quatre points du plan . Démontrez que si l’on a l’égalité \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD} (1), alors on a aussi les égalités :
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD} (2) ;
\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA} (3) ;
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} (4)
Exercice 2
Soit A, B, C trois points distincts d’une droite D ; les vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA} , \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{AC} ont – ils la même direction ?
Exercice 3
Soit ABCD un parallélogramme de centre O. construisez le point J tel que
\overrightarrow{OJ} = \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC}.
Exercice 4
Soit [ABC un triangle .Construisez les points E et F tels que :
\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC}
Démontrez que B est le milieu du segment [EF].
Exercice 5
Soit ABC un triangle. Construisez le point J précisé par légalité vectorielle :
\overrightarrow{CJ}=2\overrightarrow{AB} – 3\overrightarrow{BC}
Exercice 6
L’égalité k \overrightarrow{v} = k’ \overrightarrow{v} entraîne –t- elle k =k’ ?
Exercice 7
L’égalité k \overrightarrow{v} = k \overrightarrow{v}‘ (1) entraîne – t –elle \overrightarrow{v}= \overrightarrow{v}‘ ?
Exercice 8
Deux vecteurs de même direction sont –ils colinéaires ?
Exercice 9
Deux vecteurs colinéaires ont-ils la même direction ?
Exercice 10
Soit ABCD un triangle. A tout point M du plan on fait correspondre le vecteur \overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}. Trouvez l’ensemble E des points du plan tels que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AC} aient la même direction.
Exercice 11
Soit ABC un parallélogramme
1) Construisez les points M, N, P, Q tels que :
\overrightarrow{AM} = \dfrac{4}{3} \overrightarrow{AB};
\overrightarrow{BN} = \dfrac{4}{3} \overrightarrow{BC} ;
\overrightarrow{CP} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow{CD} ;
\overrightarrow{DQ} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow{DA}
2) Calculer \overrightarrow{MN} et \overrightarrow{QP}en fonction de \overrightarrow{AB} et de \overrightarrow{AD} . Déduisez – en la nature du quadrilatère MNPQ.
Exercice 12
Soit ABCD un parallélogramme, M le milieu de [AD], N le milieu de [BC]
1) Démontrez que les droites (BM) et (DN) sont parallèles.
2) (BM) coupe [AC] en P. (DN) coupe le [AC] en Q
Démontrez que AP = PQ = QC
3) Déterminez la nature du quadrilatère MPNQ.
Exercice 13
Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC]. Soit P un point de la médiane (AI) .La parallèle à (AB) passant par P coupe ( BC) en D. La parallèle à (AC) passant par P coupe ( BC) en E
Montrez que I est le milieu du segment [DE]
Exercice 14
Soit ABCD un trapèze convexe o (AB) est parallèle à (CD). Soit P le milieu de [AD ]et Q le milieu de [BC]. Démontrez que (PQ) est parallèle à (AB) et à (CD)
Exercice 15
Soit ABC un triangle et A’, B’, C’, les milieu respectifs des segments [BC], [AC] , et [AB].
1) Démontrez que :
\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{BB’} + \overrightarrow{CC’} =[latex]\overrightarrow{0}
2) Soit D le point tel que \overrightarrow{CD} = \dfrac{ 3 }{4} \overrightarrow{CB}
I le point tel que ACC’I soit un parallélogramme,
J le point tel que AB’BJ soit un parallélogramme,
E le milieu du segment [IJ].
Démontrez que ACDE est un parallélogramme
Exercice 16
Soit ABCD un trapèze convexe o (AB) est parallèle à (CD). Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en E. Les droites (AD) et (BC) se coupent en F. Soit I le milieu de[AB] et J le milieu de [CD].
Démontrez que les points F, I, E, J sont alignés
Exercice 17
Soit ABC un triangle ,A’ le milieu de [BC] ,D le milieu de [AA’] ,E et F les points définis par :
\overrightarrow{AE}=d\frac{ 2}{3} \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AF}=\frac{ 3}{5}\overrightarrow{AC}
1) Calculer \overrightarrow{ED} et \overrightarrow{BF} en fonction de \overrightarrow{AB} et de \overrightarrow{AC}
2) Déduisez–en que les droites (ED) et (BF) sont parallèles.
Exercice 18
Soit ABC un triangle quelconque. A’ le milieu de [BC], G le centre de gravité du triangle, D et E les points tels que \overrightarrow{CD}=\dfrac{ 1}{3}\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BE}=\dfrac{ 1}{3}\overrightarrow{AC}. On note I le milieu de [DE].
1. a Montrer que . \overrightarrow{AI} =\frac{ 2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{ 2}{3}\overrightarrow{AC}
b.)Exprimer \overrightarrow{AA} en fonction de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} .
c) Démontrer que les points A, A’ et I sont alignés.
2) Démontrer que le point G est le milieu de [AI].
3) Prouver que les droites (BC) et (ED) sont parallèles.
