15. Système d’équations-Système d’inéquations

I)Equations et système d’équations dans R x R  

1) Equations  dans  RxR

a) Exemple

Soit à résoudre dans R x R l’équation 3x+2y=5
Toute solution de l’équation 3x+2y=5 est un couple de réels (x ;y). On dit que le couple (x ;y) est l’inconnue de l’équation 3x+2y=5
Résoudre l’équation 3x+2y=5 c’est donc trouver tous les couples de réels (x ;y) pour que l’égalité 3x+2y=5 se verifie

b) Exemple de résolution

Trouvons des couples de nombres réels qui vérifient l’équation 3x+2y=5

y=\frac{5-3x}{2}
(x=\frac{5-3x}{2}) est une solution générale de 3x+2y=5

c)Résolution graphique

Soit à résoudre graphiquement l’équation 3x+2y=5
Résoudre graphiquement l’équation 3x+2y=5 c’est trouver dans le plan muni d’un repère les points dont les coordonnées (x ;y) vérifient  l’équation 3x+2y=5.
L’ensemble de ces points représente une droite d’équation 3x+2y=5

2) Système d’équations dans   R x R

a) Exemple

Soit à résoudre dans  x  le système  (F) :  \begin{cases} 3x+2y=5 \\ 7x+5y=15\end{cases}
Résoudre ce système c’est trouver l’ensemble des couple de réels (x ;y) qui sont  à la fois solution de 3x+2y=5 et de 7x+5y=15

b)Méthodes de résolution  

• Résolution par Identification

On choisit une des inconnues que l’on exprime en fonction de l’autre dans chacune des deux équations. Résolvons par identification (F):\begin{cases} 3x+2y=5 (1) \\ 7x+5y=15 (2) \end{cases}

• Résolution par substitution

Dans l’une des équations , on exprime x en fonction de y (ou y en fonction de x) et reporte le résultat dans la seconde équation
Exemple : Résolvons par substitution (F)  \begin{cases} 3x+2y=5 (1) \\ 7x+5y=15 (2) \end{cases}

• Résolution par combinaison linéaire

On élimine une des inconnues en multipliant les membres de chaque équation par un nombre judicieusement choisi.
Exemple : Résolvons par combinaison linéaire (F)  \begin{cases} 3x+2y=5 (1) \\ 7x+5y=15 (2) \end{cases}

• Méthode graphique

On représente dans un repère orthonormé les droites (D₁) et (D₂) d’équation respective 2x-y=5 et x+3y=6
Les coordonnées du point d’intersection des droites (D₁) et (D₂) est solution du (E) \begin{cases} 2x-y=5 (1) \\ x+3y=6 (2) \end{cases}
Exemple résolvons graphiquement (E) \begin{cases} 2x-y=5 (1) \\ x+3y=6 (2) \end{cases}

II)Inéquations et systèmes d’inéquations dans
              
1)Inéquation dans  R x R  

a)Exemple

Soit à résoudre dans R x R l’inéquation 2x-y +3  > 0
Résoudre cette inéquation 2x-y +3 > 0 c’est  trouver tous les couples de réels (x ;y) tels que l’inéquation 2x-y +3 > 0 se vérifie . L’inéquation 2x-y +3 > 0 admet une infinité de solutions

Par exemple

b) Résolution graphique

Soit à résoudre graphiquement inéquation 2x-y3<0
Résoudre graphiquement l’inéquation 2x-y+3<0 c’est trouver dans le plan muni d’un repère les points dont les coordonnées (x ;y) vérifient 2x-y+3<0

Ainsi on représente la droite (D) d’équation 2x-y+3=0 et l’ensemble solution est un demi plan délimité par la droite (D) que l’on peut hachurer.

2)Systèmes d’inéquations dans R x R

Soit à résoudre graphiquement le système (E) \begin{cases} x+y>-1 (1) \\ x-2y>-4 (2) \end{cases}

III)Résolution de Problèmes

1)Problème conduisant à un système d’équations dans x

Pour faire la fête de la réussite de  leurs enfants aux examens scolaires, la famille ONDO a tué des pintades et des lapins. Sachant que 20 animaux ont été tué et le nombre de pattes de ces animaux est de 54 , trouver le nombre de pintades et celui des lapins.
Pour résoudre ce problème on suit la démarche suivante :

(1)Choix des inconnues

Soit x le nombre de pintades et y le nombre de lapins

(2)Mise en équations \begin{cases} x+y=20 (1) \\ 2x+4y=54 (2) \end{cases}

(3)Résolution du système

4)Vérification

\begin{cases} x+y=20 (1) \\ 2x+4y=54 (2) \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} 13+7=20 (1) \\ 2X13+4X7=54 (2) \end{cases} vrai

5)Conclusion

Le nombre de pintades est de 13 et celui de lapins est de 7

Exercice d’application

Dans une ferme il y a des poules et des chèvres. Sachant qu’il y a au total 23 têtes et 76 pattes. Combien y a-t-il de poules et de chèvres ?

2) Problème conduisant à un système d’inéquation dans R x R 

Une usine fabrique deux produits A et B .La fabrication d’une tonne du produit A nécessite 1h de travail et la fabrication d’une tonne du produit B nécessite 2h de travail. L’usine travaille au maximum 16heures par jour. La fabrication d’une tonne de A entraine une dépense de 3000francs et la fabrication d’une tonne de B entraine une dépense de 1000francs. Le budget de l’entreprise en permet de consacrer plus de 24000francs par jour à cette fabrication. Un client commande à cette usine x tonnes du produit A et y tonnes de produit B.(x et y non nuls).

a)Déterminer graphiquement l’ensemble des couples naturels(x ; y) qui correspondent aux commandes que l’usine peut fabriquer en une journée.

b)Déterminer l’ensemble de couples de naturels(x ; y) pour lesquels la masse totale des produits fabriqués est maximale.

Résolution du problème

(1) Choix des inconnues
Soit x le nombre de tonnes de produit A et y celui du produit B tel que x > 0  et y > 0

(2) Mise en inéquations

 (3) Résolution graphique

(4) conclusion

a)L’ensemble des couples naturels(x ; y) qui correspondent aux commandes que l’usine peut fabriquer en une journée sont  (1 ;1) ; (1 ;2)…………..les 39 Pointes
b)L’ensemble de couples de naturels(x ; y) pour lesquels la masse totale des produits fabriqués est maximale sont : A(4 ; 6)   ; B(2 ; 7) ; D(8 ;0) et E(7 ; 3)