2. Multiplication d’un vecteur par un réel

L’élève doit être capable de :
– construire un représentant du vecteur k\overrightarrow{u} connaissant \overrightarrow{u} et k ;
– reconnaître des vecteurs colinéaires ;
– établir l’alignement de trois points à l’aide d’une relation vectorielle ;
– caractériser vectoriellement l’alignement de trois points, le parallélisme de deux droites.

I)Produit d’un vecteur par un réel

Définition

A et B étant deux points distincts du plan ; k étant un réel quelconque . k\overrightarrow{AB} désigne un vecteur \overrightarrow{AC} où C est le point d’abscisse k dans le repère (A ; B) .

Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan de répresentant (A ; B)

Si \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} alors k\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{u}  

Le vecteur k\overrightarrow{u} est appelé produit du vecteur \overrightarrow{u} par un réel k.

REMARQUE

3) Propriétés 

Exercice d’application

Placer A ; B ; C trois points du plan non alignés. Soit M le point du plan tel que :

  \overrightarrow{AM} = ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ) + 3( \overrightarrow{BC} + 2 \overrightarrow{CA} )

Réduire l’expression du vecteur \overrightarrow{AM} puis placer M.

II) Caractérisation d’un alignement de trois points

1)Vecteurs colinéaires

 Définition

Etant donné deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non nuls ; s’il existe un réel k tel que \overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u} ; on dit que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Remarque : Le vecteur nul ( \overrightarrow{0} ) est colinéaire à tout vecteur.

2) Caractérisation d’un alignement de trois points

Propriété

Soient trois points A ; B et C.

 Si \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires alors A ; B et C sont alignés.

Si les points A ; B et C sont alignés alors les vecteurs \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.

III)caractérisation du parallélisme de deux droites

Propriété

  • Si \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{AB} sont deux vecteurs  colinéaires et non nuls alors les droites(CD) et (AB) sont parallèles.
  • Si les droites(CD) et (AB) sont parallèles alors \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{AB} sont deux vecteurs  colinéaires et non nuls.

Remarque :

  • Si deux vecteurs  non nuls sont colinéaires alors ils ont même direction
  • Si Si deux vecteurs  non nuls ont même direction alors ils sont colinéaires