2. Multiplication d’un vecteur par un réel
L’élève doit être capable de : – construire un représentant du vecteur k\overrightarrow{u} connaissant \overrightarrow{u} et k ; – reconnaître des vecteurs colinéaires ; – établir l’alignement de trois points à l’aide d’une relation vectorielle ; – caractériser vectoriellement l’alignement de trois points, le parallélisme de deux droites. |
I)Produit d’un vecteur par un réel
Définition
A et B étant deux points distincts du plan ; k étant un réel quelconque . k\overrightarrow{AB} désigne un vecteur \overrightarrow{AC} où C est le point d’abscisse k dans le repère (A ; B) .
Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan de répresentant (A ; B)
Si \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} alors k\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{u}
Le vecteur k\overrightarrow{u} est appelé produit du vecteur \overrightarrow{u} par un réel k.
REMARQUE

3) Propriétés

Exercice d’application
Placer A ; B ; C trois points du plan non alignés. Soit M le point du plan tel que :
\overrightarrow{AM} = ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ) + 3( \overrightarrow{BC} + 2 \overrightarrow{CA} )
Réduire l’expression du vecteur \overrightarrow{AM} puis placer M.
II) Caractérisation d’un alignement de trois points
1)Vecteurs colinéaires
Définition
Etant donné deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non nuls ; s’il existe un réel k tel que \overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u} ; on dit que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.
Remarque : Le vecteur nul ( \overrightarrow{0} ) est colinéaire à tout vecteur.
2) Caractérisation d’un alignement de trois points
Propriété
Soient trois points A ; B et C.
Si \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires alors A ; B et C sont alignés.
Si les points A ; B et C sont alignés alors les vecteurs \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.
III)caractérisation du parallélisme de deux droites
Propriété
- Si \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{AB} sont deux vecteurs colinéaires et non nuls alors les droites(CD) et (AB) sont parallèles.
- Si les droites(CD) et (AB) sont parallèles alors \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{AB} sont deux vecteurs colinéaires et non nuls.
Remarque :
- Si deux vecteurs non nuls sont colinéaires alors ils ont même direction
- Si Si deux vecteurs non nuls ont même direction alors ils sont colinéaires