4. Racine carrée d’un réel positif

L’élève doit être capable de : – Utiliser les propriétés de la racine carrée pour : encadrer des expressions contenant des radicaux, simplifier des expressions contenant des radicaux, rendre rationnel le dénominateur d’un quotient ; – Reconnaître si a est une racine carrée de b, a et b étant deux réels

I. Définition de la racine carrée d’un réel positif

Définition

Pour tout réel a positif ; on appelle racine carrée de a , le réel dont le carré est égal à a. on le note \sqrt{a} et on lit « racine carrée de a  » 
\sqrt{0} = 0 ; \sqrt{1} =1

II. Propriétés

1. Racine carrée d’un produit 

Propriété

Pour tout réel positif a et b ; on a :

\sqrt{a} x \sqrt{b} = \sqrt{a x b}

2. Racine carrée d’un quotient

Propriété

3. Racine carrée d’une somme

Propriété

Pour tous réels positifs a et b ; on a :

\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne{a} \sqrt{a + b}

4. Comparaison

Propriété

x et y étant des réels positifs si x < y alors \sqrt{x} < \sqrt{y}

Les racines carrées de deux nombres positifs sont dans le même ordre que les deux nombres.

5. Racine carrée et valeur absolue

Propriétés

Pour tout réel x ; \sqrt{~x^2} = |x|

6. Ecriture sous la forme a\sqrt{b}

Ecrivons \sqrt{75} et \sqrt{20} sous la forme a\sqrt{b}
75 = 3 \times 5^2 \Leftrightarrow \sqrt{3 \times 5^2} = \sqrt{3} \times \sqrt{5^2} = 5\sqrt{3} \\ 20 = 2^2 \times 5 \Leftrightarrow \sqrt{2^2 \times 5} = 2\sqrt{5}

III. Calcul sur les radicaux

1. Expression conjuguée

Exemple

Calculer B = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) \\ B = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) \\B = 2^2 - (\sqrt{3})^2 \\ B = 4-3 \\ B = 1

Le résultat est un réel sans radical ; on dit que 2+ \sqrt{3} est l’expression conjuguée de 2-\sqrt{3} où 2-\sqrt{3} est l’expression conjuguée de 2+\sqrt{3}

2. Résolution d’équation de type x²= k

Retenons

Résoudre x²= k ; k étant un réel