5. Equations et Inéquations dans IR

L’élève doit être capable de :
– résoudre une équation ou une inéquation du premier degré dans R ou s’y ramenant ;
– résoudre des problèmes se ramenant à des équations ou inéquations du premier degré dans IR

I) Equation du premier degré à une inconnue

1)Rappel

Une équation  est une égalité où se trouve une inconnue.

Résoudre une équation  c’est trouver la /les valeur(s) des/l’inconnue pour que l’égalité se vérifie

2)Equation de type ax+b=cx+d

Exemple

Résoudre dans  l’équation 3x+1=x- 4  et

Exercice d’application 

Résoudre dans R ; \frac{x}{4}\frac{3}{2} = \frac{-x+1}{6} et 17x +10 = -7x -9

3)Equation de types (ax+b)(cx+d)=0

Rappel si ab= 0 alors a=0 ou b=0

4)Equation de  type \frac{ax+b}{cx+d} =e

Exemple : résoudre dans R

 II) Inéquation du 1er degré à une inconnue              

  1. Rappels

Une inéquation est une inégalité où se trouve une inconnue

      Résoudre une inéquation c’est donner l’ensemble de toutes les inconnues pour que l’inégalité se vérifie.

  • L’inéquation de type ax+b<cx+d

Exemple : résoudre : 3x-7 11x -1   et   2x -1  x+9

On trouve respectivement SR= ]- \frac{3}{4} ; +\infty[   et   SR= ]-\infty ; 10[   

NB : L’ensemble solution est la partie non hachurée de la droite.

Exercice d’application

Résoudre dans R : \frac{3x+1}{8}\frac{2x+3}{4} < \frac{x+5}{2}  

3) Inéquation de type (ax +b)(cx+d) < 0

  • Cas général

On étudie les signe de chaque facteur dans et on consigne les résultats obtenus dans un tableau

Exemple : Résoudre dans R (2x +5)(3x+6) < 0

Cherchons d’abord les valeurs de x pour lesquelles (2x +5)(3x+6) 0

On trouve x=-\frac{5}{2} ou  x =-3

Tableau de signes

III) Equations avec valeurs absolues

  1. Equations de types |ax+b| = C  (c positif)

|ax+b| =C \iff ax+b = C ou ax+b =-C

  1. Equations de types |ax+b|=cx+d

Exemple :  Soit à résoudre |x-5|= 7x +1

Ecrivons |x-5|sans le symbole de valeur absolue.

Posons x-5=0 \iff x= 5

Sur ]-\infty ;5 [ ; |x-5|= -x+5 \iff -x+5=7x +1 \iff 7x+x=5-1 \iff 8x= 4 \iff x= \frac{1}{2}

Sur ]5 ;+\infty[ ; |x-5|= x-5 \iff x-5=7x +1 \iff 7x-x=-5-1 \iff 6x= -6 \iff x=-1

SR= { -1;\frac{1}{2}}

3)Equations de types |ax+b|=|cx+d|

Exemple : Soit à résoudre |5x+2|=|x-1|

\iff |5x+2|-|x-1|=0

             On écrit |5x+2|-|x-1| sans le symbole de la valeur absolue