5. Equations et Inéquations dans IR
| L’élève doit être capable de : – résoudre une équation ou une inéquation du premier degré dans R ou s’y ramenant ; – résoudre des problèmes se ramenant à des équations ou inéquations du premier degré dans IR |
I. Equation du premier degré à une inconnue
1. Rappel
Une équation est une égalité où se trouve une inconnue.
Résoudre une équation c’est trouver la /les valeur(s) des/l’inconnue pour que l’égalité se vérifie
2. Equation de type ax+b=cx+d
Exemple
Résoudre dans l’équation 3x+1=x- 4 et
Exercice d’application
Résoudre dans R ; \frac{x}{4}– \frac{3}{2} = \frac{-x+1}{6} et 17x +10 = -7x -9
3. Equation de types (ax+b)(cx+d)=0
Rappel si ab= 0 alors a=0 ou b=0
4. Equation de type \frac{ax+b}{cx+d} =e
Exemple : résoudre dans R
II. Inéquation du 1er degré à une inconnue
1. Rappels
Une inéquation est une inégalité où se trouve une inconnue
Résoudre une inéquation c’est donner l’ensemble de toutes les inconnues pour que l’inégalité se vérifie.
2. L’inéquation de type ax+b<cx+d
Exemple : résoudre : 3x-7 11x -1 et 2x -1 x+9
On trouve respectivement SR= ]- \frac{3}{4} ; +\infty[ et SR= ]-\infty ; 10[
NB : L’ensemble solution est la partie non hachurée de la droite.
Exercice d’application
Résoudre dans R : \frac{3x+1}{8} – \frac{2x+3}{4} < \frac{x+5}{2}
3. Inéquation de type (ax +b)(cx+d) < 0
Cas général
On étudie les signe de chaque facteur dans et on consigne les résultats obtenus dans un tableau
Exemple : Résoudre dans R (2x +5)(3x+6) < 0
Cherchons d’abord les valeurs de x pour lesquelles (2x +5)(3x+6) 0
On trouve x=-\frac{5}{2} ou x =-3
Tableau de signes
III. Equations avec valeurs absolues
1. Equations de types |ax+b| = C (c positif)
|ax+b| =C \iff ax+b = C ou ax+b =-C
2. Equations de types |ax+b|=cx+d
Exemple : Soit à résoudre |x-5|= 7x +1
Ecrivons |x-5|sans le symbole de valeur absolue.
Posons x-5=0 \iff x= 5
Sur ]-\infty ;5 [ ; |x-5|= -x+5 \iff -x+5=7x +1 \iff 7x+x=5-1 \iff 8x= 4 \iff x= \frac{1}{2}
Sur ]5 ;+\infty[ ; |x-5|= x-5 \iff x-5=7x +1 \iff 7x-x=-5-1 \iff 6x= -6 \iff x=-1
SR= { -1;\frac{1}{2}}
3. Equations de types |ax+b|=|cx+d|
Exemple : Soit à résoudre |5x+2|=|x-1|
\iff |5x+2|-|x-1|=0
On écrit |5x+2|-|x-1| sans le symbole de la valeur absolue
