5. Equations et Inéquations dans IR
L’élève doit être capable de : – résoudre une équation ou une inéquation du premier degré dans R ou s’y ramenant ; – résoudre des problèmes se ramenant à des équations ou inéquations du premier degré dans IR |
I) Equation du premier degré à une inconnue
1)Rappel
Une équation est une égalité où se trouve une inconnue.
Résoudre une équation c’est trouver la /les valeur(s) des/l’inconnue pour que l’égalité se vérifie
2)Equation de type ax+b=cx+d
Exemple
Résoudre dans l’équation 3x+1=x- 4 et


Exercice d’application
Résoudre dans R ; \frac{x}{4}– \frac{3}{2} = \frac{-x+1}{6} et 17x +10 = -7x -9
3)Equation de types (ax+b)(cx+d)=0
Rappel si ab= 0 alors a=0 ou b=0

4)Equation de type \frac{ax+b}{cx+d} =e
Exemple : résoudre dans R

II) Inéquation du 1er degré à une inconnue
- Rappels
Une inéquation est une inégalité où se trouve une inconnue
Résoudre une inéquation c’est donner l’ensemble de toutes les inconnues pour que l’inégalité se vérifie.
- L’inéquation de type ax+b<cx+d
Exemple : résoudre : 3x-7 11x -1 et 2x -1 x+9
On trouve respectivement SR= ]- \frac{3}{4} ; +\infty[ et SR= ]-\infty ; 10[

NB : L’ensemble solution est la partie non hachurée de la droite.
Exercice d’application
Résoudre dans R : \frac{3x+1}{8} – \frac{2x+3}{4} < \frac{x+5}{2}
3) Inéquation de type (ax +b)(cx+d) < 0
- Cas général
On étudie les signe de chaque facteur dans et on consigne les résultats obtenus dans un tableau
Exemple : Résoudre dans R (2x +5)(3x+6) < 0
Cherchons d’abord les valeurs de x pour lesquelles (2x +5)(3x+6) 0
On trouve x=-\frac{5}{2} ou x =-3
Tableau de signes


III) Equations avec valeurs absolues
- Equations de types |ax+b| = C (c positif)
|ax+b| =C \iff ax+b = C ou ax+b =-C

- Equations de types |ax+b|=cx+d
Exemple : Soit à résoudre |x-5|= 7x +1
Ecrivons |x-5|sans le symbole de valeur absolue.
Posons x-5=0 \iff x= 5

Sur ]-\infty ;5 [ ; |x-5|= -x+5 \iff -x+5=7x +1 \iff 7x+x=5-1 \iff 8x= 4 \iff x= \frac{1}{2}
Sur ]5 ;+\infty[ ; |x-5|= x-5 \iff x-5=7x +1 \iff 7x-x=-5-1 \iff 6x= -6 \iff x=-1
SR= { -1;\frac{1}{2}}
3)Equations de types |ax+b|=|cx+d|
Exemple : Soit à résoudre |5x+2|=|x-1|
\iff |5x+2|-|x-1|=0
On écrit |5x+2|-|x-1| sans le symbole de la valeur absolue

